對於乙個圖g
gg,定義其度數矩陣為d(g
)d(g)
d(g)
.d (g
)d(g)
d(g)
是乙個n∗n
n*nn∗
n大小的對角線矩陣.
對角線上元素d(i
,i)d_
d(i,i)
為頂點i
ii的度數。(非對角線上的元素d(i
,j)d_
d(i,j)
為0)
對於乙個圖g
gg,定義其臨接矩陣為a(g
)a(g)
a(g).a(i
,j)a_
a(i,j)
為vi
v_ivi
和vj
v_jvj
之間鄰接的邊數(注意可以有重邊,即大於1)
k ir
chof
f為乙個
n∗n的
矩陣
kirchoff為乙個n*n的矩陣
kircho
ff為一
個n∗n
的矩陣:d(g
)−a(
g)
d(g)-a(g)
d(g)−a
(g)即對於∀i,
j,ki
,j=d
i,j−
ai,j
∀i,j,k_=d_-a_
∀i,j,k
i,j
=di,
j−a
i,j
定理：對於乙個圖g
gg，其生成樹個數為該kirchoff矩陣行列式的值。
證明略過,會用即可。
用高斯消元法即可求得行列式的值。
模板如下(借用了洛谷某位大佬的)：
void add
(int u,
int v)
ll gauss
(int n)
} ans=
1ll*ans*a[i]
[i]%mod,ans=
(ans+mod)
%mod;
}return ans;
}
例題傳送門：
第一題附上這位大佬的**(我比較懶就沒敲了):
大佬傳送門
#include
#include
const
int n=
15,m=
105;
const
int mod=
1e9;
char s[n]
[n];
int n,m,a[m]
[m],id[n]
[n];
void add
(int u,
int v)
intgauss
(int n)
} ans=
1ll*ans*a[i]
[i]%mod,ans=
(ans+mod)
%mod;
}return ans;
}int
main()
printf
("%d\n"
,gauss
(idx-1)
);return0;
}
對於二進位制每一位拆位計算貢獻即可。
#include .h>
using namespace std;
#define maxn 300050
#define ll long long
const
int n=
105,m=
105;
const ll mod=
998244353
;int n,m;
ll a[n]
[n];
ll qpow
(ll x,ll y)
return res;
}ll inv
(ll x)
void add
(int u,
int v)
ll gauss
(int n)
} ans=
1ll*ans*a[i]
[i]%mod,ans=
(ans+mod)
%mod;
}return ans;
}int d[n]
[n][32]
;int
main()
add(u,v);}
ll all=
gauss
(n-1);
ll ans=0;
for(
int j=
0;j<
30;j++)}
ans+=
(1ll<*gauss
(n-1
)%mod;
ans%=mod;
} ans=ans*
inv(all)
%mod;
cout<}}
容斥即可,建議自己手寫關於這個組合數的式子證明一下結論的正確性：
a ns
=∑i=
1n(−
1)i−
1f(n
+1−i
)ans=\sum_^(-1)^f(n+1-i)
ans=∑i
=1n
(−1)
i−1f
(n+1
−i)f(i
)f(i)
f(i)
表示最多i
ii個公司參與修建的生成樹個數.
#include .h>
using namespace std;
const
int n=
18,m=18;
const long long mod=
1e9+7;
#define ll long long
ll n,a[m]
[m],id[n]
[n];
int m[n]
;int v[n]
[n*n][2
];inline void add
(int u,
int v)
int d[30]
;inline int
gauss
(int n)
} ans=
1ll*ans*a[i]
[i]%mod,ans=
(ans+mod)
%mod;
}return ans;
}int
main()
}int all=
1<<
(n);
long long ans=0;
for(register int i=
1;i++i)}}
if((n-cnt)&1
) ans=
(ans-
gauss
(n)+mod)
%mod;
else
ans=
(ans+
gauss
(n))
%mod;
} cout<}
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