Bellman Ford最短路徑演算法

bellman-ford最短路徑演算法

單源最短路徑

給定乙個圖,和乙個源頂點src,找到從src到其它所有所有頂點的最短路徑，圖中可能含有負權值的邊。

dijksra的演算法是乙個貪婪演算法,時間複雜度是o(vlo**)(使用最小堆)。但是迪傑斯特拉演算法在有負權值邊的圖中不適用,bellman-ford適合這樣的圖。在網路路由中，該演算法會被用作距離向量路由演算法。

bellman-ford也比迪傑斯特拉演算法更簡單和同時也適用於分布式系統。但bellman-ford的時間複雜度是o(ve),這要比迪傑斯特拉演算法慢。（v為頂點的個數,e為邊的個數）

演算法描述

輸入:圖和源頂點src輸出:從src到所有頂點的最短距離。如果有負權迴路(不是負權值的邊),則不計算該最短距離，沒有意義，因為可以穿越負權迴路任意次，則最終為負無窮。

演算法步驟

1.初始化：將除源點外的所有頂點的最短距離估計值 dist[v] ← +∞, dist[s] ←0;

2.迭代求解：反覆對邊集e中的每條邊進行鬆弛操作，使得頂點集v中的每個頂點v的最短距離估計值逐步逼近其最短距離；（執行|v|-1次）

3.檢驗負權迴路：判斷邊集e中的每一條邊的兩個端點是否收斂。如果存在未收斂的頂點，則演算法返回false，表明問題無解；否則演算法返回true，並且從源點可達的頂點v的最短距離儲存在 dist[v]中。

該演算法是利用動態規劃的思想。該演算法以自底向上的方式計算最短路徑。它首先計算最多一條邊時的最短路徑(對於所有頂點)。然後,計算最多兩條邊時的最短路徑。外層迴圈需要執行|v|-1次。

bellman-ford最短路徑演算法

問題：bellman-ford演算法是否一定要迴圈n-1次嗎？未必！其實只要在某次迴圈過程中，考慮每條邊後，都沒能改變當前源點到所有頂點的最短路徑長度，那麼bellman-ford演算法就可以提前結束了。

例子一下面的有向圖為例：給定源頂點是0，初始化源頂點距離所有的頂點都是是無窮大的,除了源頂點本身。因為有5個頂點，因此所有的邊需要處理4次。

bellman-ford最短路徑演算法

按照以下的順序處理所有的邊：(b,e), (d,b), (b,d), (a,b), (a,c), (d,c), (b,c), (e,d).第一次迭代得到如下的結果(第一行為初始化情況,最後一行為最終結果)：

當 (b,e), (d,b), (b,d) 和 (a,b) 處理完後，得到的是第二行的結果。當 (a,c) 處理完後，得到的是第三行的結果。當 (d,c), (b,c) 和 (e,d) 處理完後，得到第四行的結果。