bellman-ford的使用範圍
1、單源
2、有負權重
3、有向
bellman-ford演算法的描述
最短路徑估計值g(v)：當前求得的源節點s到節點v最短距離
最短路徑d(v)：源節點s帶節點v的最短路徑距離
bellman-ford演算法通過對所有的邊進行鬆弛操作來漸漸地降低從源節點s到每個節點v的最短路徑估計值g(v)，直到g(v)=d(v)。
bellman-ford演算法的模板
class edge//表示邊，u為邊的起點，v為邊的終點，w為邊的權重
int n;//節點的總個數
int m;//邊的總條數
int s;//源節點
edge e;//e[i]:第i條邊
int d;//d[i]:s到i的最短路徑長度
boolean bellman_ford()
}if(!flag)//若flag為false說明本次沒有對任何一條邊進行鬆弛，那麼以後的每一次都不會對任何一條邊進行鬆弛，所以剩下的鬆弛操作也沒必要了
}//**//
//***//判斷是否有負環
for(int i=0;id[u]+w)
}return true;//沒有負環
//***//
}
收斂性質：
對於某些節點u，v，如果s~u~v是一條最短路徑，並且在對邊(u,v)進行鬆弛前的任意時間有g[u]=d[u]，則在之後的所有時間有g[v]=d[v]。
證明bellman-ford的正確性
1、證明若不存在負環，則對所有邊進行n-1次鬆弛之後，對於所有從s可以到達的節點v，有g[v]=d[v]
證明：設p=（s,v1,v2,...,vk）為從源節點到vk之間的任意一條最短路徑。根據收斂性質，在進行第一次鬆弛後，g[v1]=d[v1]，在進行第二次鬆弛後，g[v2]=d[v2]，。。。，在進行第k次鬆弛後，g[vk]=d[vk]。由於p最多包含n-1條邊，所以經過n-1次鬆弛後，對於所有從s可以到達的節點v，有g[v]=d[v]。
2、證明對所有邊進行n-1次鬆弛之後，若有某條邊(u,v)，使得g(v)>g(u)+w(u,v)，則存在負環
證明：我們可以斷言：若沒有負環，則對於任意一條邊(u,v)，有g(v)<=g(u)+w(u,v)。由於該命題成立，則該命題的逆否命題也成立。
所以可以推出：若有某條邊使得g(v)>g(u)+w(u,v)，則存在負環。得證
3、證明對所有邊進行n-1次鬆弛之後，若對任意的邊(u,v)，都有g(v)<=g(u)+w(u,v)，則不存在負環
證明：假設存在負環，設該環路為c=(v0,v1,v2,...,vk)，v0=vk。
由於c未負環，所以有w(v0,v1)+w(v1,v2)+...+w(vk-1,vk)<0。
由於對於所有的邊都有g(v)<=g(u)+w(u,v)，
所以有g(vi)<=g(vi-1)+w(vi-1,vi)，i=1,2,...,k，
將k個等式加起來，有g(v1)+g(v2)+...+g(vk)<=g(v0)+g(v1)+...+g(vk-1)+w(v0,v1)+w(v1,v2)+...+w(vk-1,vk)，
由於v0=vk，
所以有g(v0)=g(vk)
所以有w(v0,v1)+w(v1,v2)+...+w(vk-1,vk)>=0.
這與w(v0,v1)+w(v1,v2)+...+w(vk-1,vk)<0相矛盾。所以命題正確
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