本文主要講解求單源最短路徑的bellman－ford演算法。
bellman－ford演算法
bellman－ford演算法能夠在一般情況下，解決單源最短路徑問題。允許圖中出現權為負數的邊。該演算法還會返回乙個布林值。如果布林值為false，表示途中存在從源點可達的權為負的迴路。
首先介紹一下鬆弛計算。如下圖：
鬆弛計算之前，點b的值是8，但是點a的值加上邊上的權重2，得到5，比點b的值（8）小，所以，點b的值減小為5。這個過程的意義是，找到了一條通向b點更短的路線，且該路線是先經過點a，然後通過權重為2的邊，到達點b。
當然，如果 出現一下情況
則不會修改點b的值，因為3＋4>6。
bellman－ford演算法可以大致分為三個部分
第一，初始化所有點。每乙個點儲存乙個值，表示從原點到達這個點的距離，將原點的值設為0，其它的點的值設為無窮大（表示不可達）。
第二，進行迴圈，迴圈下標為從1到n－1（n等於圖中點的個數）。在迴圈內部，遍歷所有的邊，進行鬆弛計算。
第三，遍歷途中所有的邊（edge（u，v）），判斷是否存在這樣情況：
d（v） > d (u) + w(u,v)
則返回false，表示途中存在從源點可達的權為負的迴路。
之所以需要第三部分的原因，是因為，如果存在從源點可達的權為負的迴路。則 應為無法收斂而導致不能求出最短路徑。
考慮如下的圖：
經過第一次遍歷後，點b的值變為5，點c的值變為8，這時，注意權重為－10的邊，這條邊的存在，導致點a的值變為－2。（8＋ －10＝－2）
第二次遍歷後，點b的值變為3，點c變為6，點a變為－4。正是因為有一條負邊在迴路中，導致每次遍歷後，各個點的值不斷變小。
在回過來看一下bellman－ford演算法的第三部分，遍歷所有邊，檢查是否存在d（v） > d (u) + w(u,v)。因為第二部分迴圈的次數是定長的，所以如果存在無法收斂的情況，則肯定能夠在第三部分中檢查出來。比如
此時，點a的值為－2，點b的值為5，邊ab的權重為5，5 > -2 + 5. 檢查出來這條邊沒有收斂。
所以，bellman－ford演算法可以解決圖中有權為負數的邊的單源最短路徑問。
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