spfa演算法是求解單源最短路徑問題的一種演算法，由理查德·貝爾曼(richard bellman) 和 萊斯特·福特創立的。有時候這種演算法也被稱為 moore-bellman-ford 演算法，因為 edward f. moore 也為這個演算法的發展做出了貢獻。它的原理是對圖進行v-1次鬆弛操作，得到所有可能的最短路徑。其優於迪科斯徹演算法的方面是邊的權值可以為負數、實現簡單，缺點是時間複雜度過高，高達 o(ve)。但演算法可以進行若干種優化，提高了效率。
演算法的思路：我們用陣列dis記錄每個結點的最短路徑估計值，用鄰接表或鄰接矩陣來儲存圖g。我們採取的方法是動態逼近法：設立乙個先進先出的佇列用來儲存待優化的結點，優化時每次取出隊首結點u，並且用u點當前的最短路徑估計值對離開u點所指向的結點v進行鬆弛操作，如果v點的最短路徑估計值有所調整，且v點不在當前的佇列中，就將v點放入隊尾。這樣不斷從佇列中取出結點來進行鬆弛操作，直至佇列空為止。
我們要知道帶有負環的圖是沒有最短路徑的，所以我們在執行演算法的時候，要判斷圖是否帶有負環，方法有兩種：
1.開始演算法前，呼叫拓撲排序進行判斷（一般不採用，浪費時間）
2.如果某個點進入佇列的次數超過n次則存在負環（n為圖的頂點數）
spfa演算法手動操作過程
下面我們採用spfa演算法對下圖求v1到各個頂點的最短路徑，通過手動的方式來模擬spfa每個步驟的過程
初始化：
首先我們先初始化陣列dis如下圖所示：（除了起點賦值為0外，其他頂點的對應的dis的值都賦予無窮大，這樣有利於後續的鬆弛）
此時，我們還要把v1如佇列：
現在進入迴圈，直到隊列為空才退出迴圈。
第一次迴圈：
首先，隊首元素出佇列，即是v1出佇列，然後，對以v1為弧尾的邊對應的弧頭頂點進行鬆弛操作，可以發現v1到v3，v5，v6三個頂點的最短路徑變短了，更新dis陣列的值，得到如下結果：
我們發現v3，v5，v6都被鬆弛了，而且不在佇列中，所以要他們都加入到佇列中：
第二次迴圈
此時，隊首元素為v3，v3出佇列，然後，對以v3為弧尾的邊對應的弧頭頂點進行鬆弛操作，可以發現v1到v4的邊，經過v3鬆弛變短了，所以更新dis陣列，得到如下結果：
此時只有v4對應的值被更新了，而且v4不在佇列中，則把它加入到佇列中：
第三次迴圈
此時，隊首元素為v5，v5出佇列，然後，對以v5為弧尾的邊對應的弧頭頂點進行鬆弛操作，發現v1到v4和v6的最短路徑，經過v5的鬆弛都變短了，更新dis的陣列，得到如下結果：
我們發現v4、v6對應的值都被更新了，但是他們都在佇列中了，所以不用對佇列做任何操作。佇列值為：
第四次迴圈此時，隊首元素為v6，v6出佇列，然後，對以v6為弧尾的邊對應的弧頭頂點進行鬆弛操作，發現v6出度為0，所以我們不用對dis陣列做任何操作，其結果和上圖一樣，佇列同樣不用做任何操作，它的值為：
spfa演算法手動操作過程
第五次迴圈此時，隊首元素為v4，v4出佇列，然後，對以v4為弧尾的邊對應的弧頭頂點進行鬆弛操作，可以發現v1到v6的最短路徑，經過v4鬆弛變短了，所以更新dis陣列，得到如下結果：
因為我修改了v6對應的值，而且v6也不在佇列中，所以我們把v6加入佇列，
第六次迴圈
此時，隊首元素為v6，v6出佇列，然後，對以v6為弧尾的邊對應的弧頭頂點進行鬆弛操作，發現v6出度為0，所以我們不用對dis陣列做任何操作，其結果和上圖一樣，佇列同樣不用做任何操作。所以此時隊列為空。ok，佇列迴圈結果，此時我們也得到了v1到各個頂點的最短路徑的值了，它就是dis陣列各個頂點對應的值，如下圖：
spfa演算法問題
即使兩個圖的節點和邊數完全一樣，僅僅是幾條邊的權值不同，他們的 spfa 佇列也會差距很大，如此感性上理解，spfa 是不穩定的。
眾所周知 spfa 可以看做是 bellman-ford 的佇列優化。 bellman-ford 每輪鬆弛會使最短路的邊數至少 +1，而最短路的邊數最多為 n−1，則其複雜度上界是穩定的 o(nm) 的。
但是 spfa 能被卡，能被卡到 bellman-ford 的複雜度，我們先講原因，再講方法：
究其原因，要從 spfa 是 bellman-ford 的優化說起。在 n 個點 m 條邊的圖中，bellman-ford 的複雜度是 n×m，依次對每條邊進行鬆弛操作，重複這個操作 n-1 次後則一定得到最短路，如果還能繼續鬆弛，則有負環。這是因為最長的沒有環路的路，也只不過是 n 個點 n-1 條邊構成的，所以鬆弛 n-1 次一定能得到最短路。
spfa 的意義在於，如果乙個點上次沒有被鬆弛過，那麼下次就不會從這個點開始鬆弛。每次把被鬆弛過的點加入到佇列中，就可以忽略掉沒有被鬆弛過的點。
但是最外層的迴圈還是 n-1 次。如果把被鬆弛的點放到前邊，他相當於沒有進行完這一輪鬆弛，就開始了一些其他的操作。但是這些其他的操作可能是無用的，因為這些操作的起始點可能還會被這一輪鬆弛更新。
所以傳統的 spfa 的複雜度不會超過n×m，並且每個點都不會第 n 次入隊。
漸進意義上，他的複雜度依然是 o(nm)，一共只有 m 條邊所以每個節點最多隻會入隊 n 次。spfa 在本質上只是改變的入隊的順序，其複雜度上界依然是 o(nm)，接下來介紹卡法
普通 spfa：
鏈套菊花，可以讓這個菊花節點反覆被入隊，造成時間的大量浪費。或者我們可以構造乙個具有大量次短路的網格圖，使得 spfa 容易一錯到底，即「在網格圖中走錯一次路可能導致很高的額外開銷」。我們可以考慮構造乙個網格圖套菊花，或者把兩種方法結合起來，放在同乙個 subtask 中。
漸進意義上，他的複雜度依然是 o(nm)，一共只有 m 條邊所以每個節點最多隻會入隊 n 次。spfa 在本質上只是改變的入隊的順序，其複雜度上界依然是 o(nm)，接下來介紹卡法
鏈套菊花，可以讓這個菊花節點反覆被入隊，造成時間的大量浪費。或者我們可以構造乙個具有大量次短路的網格圖，使得 spfa 容易一錯到底，即「在網格圖中走錯一次路可能導致很高的額外開銷」。我們可以考慮構造乙個網格圖套菊花，或者把兩種方法結合起來，放在同乙個 subtask 中。
lll 優化：
方法是比較入隊的邊權與 **e（平均值），如果更大則插入到隊尾。卡死的方法是向 1 連線一條權值極大的邊。
slf 優化：
極其廣為人知的優化，每次將入隊結點距離和隊首比較，如果更大則插入至隊尾。依然可以用鏈套菊花的方式卡，「鏈上用幾個並列在一起的小邊權」。帶容錯的版本依然可以通過高邊權和的方式卡死。
spfa演算法其它優化
除了佇列優化（spfa）之外，bellman-ford 還有其他形式的優化，這些優化在部分圖上效果明顯，但在某些特殊圖上，最壞複雜度可能達到指數級。
堆優化：將佇列換成堆，與 dijkstra 的區別是允許乙個點多次入隊。在有負權邊的圖可能被卡成指數級複雜度。
棧優化：將佇列換成棧（即將原來的 bfs 過程變成 dfs），在尋找負環時可能具有更高效率，但最壞時間複雜度仍然為指數級。
lll 優化：將普通佇列換成雙端佇列，每次將入隊結點距離和隊內距離平均值比較，如果更大則插入至隊尾，否則插入隊首。
slf 優化：將普通佇列換成雙端佇列，每次將入隊結點距離和隊首比較，如果更大則插入至隊尾，否則插入隊首。
d´esopo-pape 演算法：將普通佇列換成雙端佇列，如果乙個節點之前沒有入隊，則將其插入隊尾，否則插入隊首。
Bellman Ford演算法，SPFA演算法
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Spfa演算法模版
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