oi-wiki
burnside 引理
數學描述見 wiki，和實際問題對應起來就行
為了方便我後來的腦子理解，這裡首先確定問題為：
對若干元素進行染色（即乙個 a 到 b 的對映），並給出一系列等價判定規則（即對於兩個染色方案，判斷是否存在某種置換，在對元素進行該置換後，根據對映結果是否相同確定這兩個方案是否等價），求本質不同的方案數（即等價類的個數）所有的判定規則，即置換群 g = ；對於乙個置換 a_k，記所有染色方案根據這個置換得到的新的對映結果不變的個數為 \(c_1(a_k)\)
則等價類的個數等於：
\[\frac\sum_
\]例題，可以見wiki或者這裡也有乙個
pólya 定理
我們換乙個方式計算 \(c_1(a_k)\)
設顏色個數 m（=|b|），c(a) 表示置換 a 能拆成的不相交的迴圈置換的數量，則 \(c_1(a_k) = m^\)，即：
\[\frac\sum_}
\]這個的含義就是，若置換後對映結果不變，等價於每個迴圈置換內的那些位置都同色
放乙個模板題
發現答案就是$$\frac\sum^_ n^$$
\[= \frac\sum_n^\phi(\frac)
\]
Burnside引理與Polya定理
感覺這兩個東西好鬼畜 考場上出了肯定不會qwq。不過還是學一下吧用來裝逼也是極好的 與下文知識無關。給出乙個集合 g 和集合上的二元運算 並滿足 1 封閉性 forall a,b in g,exists c in g,a b c 2 結合律 forall a,b,c in g,a b c a b c...
Burnside引理的感性證明
burnside 引理的感性證明 l frac sum t i 我們以 2 2 的方格圖染色來舉例感性證明。每個格仔有 2 種方案，不考慮旋轉重構一共就有 16 種。其中對於每一種等價類 也可以稱之為 旋轉軌道 他們上面的所有方案都是旋轉重構的，我們只需要記一次就可以了。也就是說，我們所求的本質不同...
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