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burnside引理
筆者第一次看到burnside引理那個公式的時候一頭霧水，找了本組合數學的書一看，全是概念。後來慢慢從polya定理開始，做了一些題總算理解了。本文將從最簡單的例子出發，解釋burnside引理和polya定理。然後提供一些自己做過的和上述定理相關的題目和解題報告。
burnside引理是為了解決m種顏色給n個物件染色的計數問題。
【例題1】如圖1所示，2×2方格中每個格仔可以選擇染上2種顏色（紅色或白色）。那麼總共是2^4=16種情況。現在要問，如果旋轉0度、90度、180度、270度後狀態不變的方案算成同一種方案，問總共有多少種不同的方案。
圖1將每種旋轉認為是一種"置換"，定義為gi，則上述問題總共有4種置換，分別描述為：
圖2用d(gi)表示在gi這種"置換"的作用下沒有改變狀態的方案集合，則根據圖2易得：
圖3用|d(gi)|代表集合d(gi)中元素的個數，則有burnside引理表示如圖4所示：
圖4l代表m種顏色給n個物件染色的總方案數，|g|代表置換個數，|d(gi)|代表在gi這種置換作用下沒有改變狀態的方案個數。
上文中的例子套用burnside引理就是 l = (16+2+4+2)/4 = 6。
這道題幾乎是所有解釋burnside引理的文章都會提到的乙個例子，因為它看起來很直觀，然而當染色數或物件數逐漸增多時，方案數呈指數級增長，再來舉個例子。
【例題2】乙個3×3的方格，用10種顏色給每個格仔染色，旋轉0度、90度、180度、270度後相同的算成相同，問總共有多少種方案。
圖5給每個格仔編個號，每個格仔有10種顏色，總共9個格仔，總情況數10^9，已經沒辦法列舉出來了。繼續從burnside引理的定義出發，|d(gi)|代表在gi這種置換作用下沒有改變狀態的方案個數，置換總共四種，那麼我們將這四種置換都列出來：
1）旋轉0度：也就是我們將這個3×3的方格旋轉0度後，有多少種方案是沒有改變狀態的，答案很顯然，就是10^9。也就是說，無論你哪個格仔染成什麼顏色都沒關係，旋轉0度前後狀態不變（這是顯然的）。
2）旋轉90度：①③⑦⑨迴圈變換、②④⑥⑧迴圈變換，⑤永遠不變。表示成置換群的乘積就是(1379)(2468)(5)。那麼我們發現，只要在同乙個迴圈中的格仔顏色一致，則在這種置換下狀態永遠不會改變。所以(1379)可以取10種顏色、(2468)可以取10種顏色、(5)可以取10種顏色，總方案數10^3。
3）旋轉180度：置換群為(19)(28)(37)(46)(5)，總方案數10^5。
4）旋轉270度：類似旋轉90度的，方案數10^3。
所以根據burnside引理，總方案數就是(10^9 + 10^3 + 10^5 + 10^3)/4。
根據這個例子，就可以很好的理解polya定理了。
polya定理
圖6m種顏色給n個物件染色的方案數如圖所示。g代表變換（置換）的種類，其中ci代表每種置換下的迴圈節。
Burnside引理和Polya定理
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Burnside引理與Polya定理
感覺這兩個東西好鬼畜 考場上出了肯定不會qwq。不過還是學一下吧用來裝逼也是極好的 與下文知識無關。給出乙個集合 g 和集合上的二元運算 並滿足 1 封閉性 forall a,b in g,exists c in g,a b c 2 結合律 forall a,b,c in g,a b c a b c...