栗子：給乙個手鐲，上面有 \(n\) 顆珠子，由線串成環。每種珠子可能有紅、黃、綠、藍四種顏色。問本質不同的手鐲有多少種。對於兩種手鐲本質相同，當且僅當一種手鐲能通過旋轉和翻轉變換與另一種手鐲重合。
對於這類問題，我們規範化定義：設集合 \(a\) 表示按照順序編號手鐲的每個珠子，\(b\) 表示四種顏色，\(x:a\rightarrow b\) 表示每個珠子對應一種顏色。對於旋轉、翻轉等操作，都可以使用置換來描述。所有操作構成的置換構成置換群\(g\)，稱為群是由於其內的元素滿足群的定義和特點。顯然，\(x\) 中某些元素可以通過 \(g\) 中的操作相互轉化，這些元素在 \(g\) 下是等價的，問題也就是 \(x\) 在 \(g\) 下的等價類個數，記作 \(|x/g|\)。
由burnside引理：
\[|x/g|=\frac1\sum_|x^g|
\]這裡闡述記號：\(|g|\) 表示置換群的大小，\(x^g=\\)，即初始狀態通過 \(g\) 的置換不變構成的集合。
若要理解和證明該引理，需要引入軌道穩定子定理。
這裡考查單個狀態 \(x\in x\) 受 \(g\) 的影響。首先，至少有 \(e\in g\)（即啥也不做的變換），使得 \(x\) 在變換中保持原樣。定義 \(g^x=\\)，表示使 \(x\) 不改變的置換構成的集合，稱 \(g^x\) 為 \(x\) 的穩定子；與之相對，定義 \(o^x=\\)，即 \(x\) 通過變換得到的所有狀態構成的集合，這裡 \(o^x\) 稱之為 \(x\) 的軌道。
定理的內容：
\[|g|=|g^x||o^x|
\]\[|g|=|g^x|[g:g^x]
\]這裡 \([g:g^x]\) 表示 \(g^x\) 不同的陪集數目。注意陪集互不相交且大小相等，共同構成了\(g\)的劃分。
現在我們需要證明 \(|o^x|=[g:g^x]\)。不難發現 \(|o^x|\leq |g|\)，也就是有可能兩種置換 \(g,h\in g\) 滿足 \(g(x)=h(x)\)，即被對應到軌道中同乙個點，繼續推導：
\[g(x)=h(x)\rightarrow (g^\circ h)(x)=x\rightarrow g^\circ h\in g^x\rightarrow h\in gg^x
\]\(gg^x\) 是 \(g^x\) 的陪集。發現 \(g(x)\neq h'(x)\) 得到的是 \(h'\not\in gg^x\)。這表明軌道\(o^x\)上的每乙個不同的點，都會被對映到不同的陪集中。這裡則證明了 \(o^x\) 到 \(g:g^x\) 滿足單射。
顯然 \(\forall g\in g\)，\(g\) 必然遍布 \(g^x\) 的所有陪集，並且 \(g(x)\in o^x\)。故所有陪集中，\(g(x)\) 一定在 \(o^x\) 中。這裡則證明了 \(o^x\) 到 \(g:g^x\) 滿足滿射。
故 \(o^x\rightarrow g:g^x\) 滿足雙射，即證 \(|o^x|=[g:g^x]\)。
上述定理描述了單個狀態不動的置換數的關係，而burnside引理則描述了單個置換下不動的狀態數的關係，我們嘗試先建立聯絡：
\[\sum_|x^g|=\sum_\sum_[g(x)=x]=\sum_|g^x|
\]由軌道穩定子定理：
\[|g^x|=\frac
\]故：
\[\sum_|g^x|=|g|\sum_\frac1
\]現在考慮與 \(|x/g|\) 建立聯絡。對於 \(x\in x/g\)，是某乙個等價類（的代表），其等價類大小即為 \(|o^x|\)（即 \(x\) 能通過變換得到的所有狀態）。
改變列舉方式：
\[\sum_\frac1=\sum_\sum_\frac1=\sum_1=|x/g|
\]整理得
\[\sum_|x^g|=|g||x/g|
\]即證
\[|x/g|=\frac1\sum_|x^g|
\]該定理是burnside引理的進一步推導。考慮化簡 \(|x^g|\)。由於 \(g\) 是一種置換，在這種置換下 \(x\) 不變的方案數，與置換分解出來的環的數量有關。顯然乙個環中的元素必須全部相等，令 \(c(g)\) 表示置換 \(g\) 分解出來的環的數量，則 \(|x^g|=|b|^\)，這裡 \(b\) 是 \(x:a\rightarrow b\) 的像。
所以得到
\[|x/g|=\frac1\sum_|b|^
\]
Burnside引理和Polya定理
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