\[\lim_ (1+\frac)^x = e
\]\[\lim_ (1+ x)^} = e
\]\[\lim_ x^} = 1
\]\[\lim_ x^x = 1
\]\[\lim_ x \ln x =0
\]\[\lim_ \sqrt[n] = 1
\]\[\lim_ \sqrt[n] = 1
\]\[sin(x) = x-\fracx^3+o(x)
\]\[sin(x) = \sum_^ (-1)^n \frac}
\]\[arcsin(x) = x+\fracx^3+o(x)
\]\[arcsin(x) = \sum_^ \frac}
\]\[tan(x) = x + \fracx^3+o(x^3)
\]\[tan(x) = \sum_^ \frac}
\]\[arctan(x) = x - \fracx^3 + o(x^3)
\]\[arctan(x) = \sum_^ (-1)^\frac}
\]\[cos(x) = 1 - \fracx^2 + \fracx^4 + o(x^4)
\]\[cos(x) = \sum_^ (-1)^n\frac}
\]\[ln(1+x) = x-\fracx^2 + \fracx^3 + o(x^3)
\]\[ln(1+x) = \sum_^ (-1)^n \frac}
\]\[e^x = 1+x+\fracx^2+\fracx^3+o(x^3)
\]\[e^x = \sum_^ \frac
\]\[(1+x)^ = 1+\alpha x +\fracx^2 +o(x)
\]\[ (1+x)^ = \sum_^ \frac} \cdot x^n
\]\[\frac = 1 + x + x^2 + x^3 + o(x^3)
\]\[\frac = \sum_^ x^n
\]\[a^x = 1 + x \ln a
\]\[(1+x)^} = e(1-\frac + \frac - \frac \cdots) = e - \frace + \frace - \frace \cdots
\]重點！！
1、做乘除法時，可以
2、做加減法時，只有部分情況可以，檢驗是否可行的方法：
對於\[\lim a+ b
\]帶入泰勒或者等價無窮小後，看看是否滿足\(\frac = \pm 1\)
是則不能帶入，否則可以帶入；例如：
\[\lim \cos x - 1 = (1-\frac) - 1 = -\frac
\]因為帶入後為\(\frac} \neq \pm1\)
而$$\lim \sin x - \tan x$$不行，因為帶入後為\(\frac = -1\)
使用平方差公式化簡
例如：1000題的1.7 \(\frac - \sqrt}\)
簡單因式（的倒數）往下放
例如：1000題的1.9 \(\lim\limits_ e^(1+\frac)^\)
1.11
化成積分分式，用洛必達消去積分
例如：1000題的1.8
例如：1000題的1.5
如果在\([a,b]\)(開區間、閉區間都可以)可導、連續，則：
$ \exists \epsilon \in (a,b)$ 使得
\[f'(\epsilon)(b-a) = f(b) - f(a)$$ 或 $$f'(\epsilon) = \frac
\]\(x \to \infty ,g(x)^\)即等於\(e^a\)
\[a= f(x)[g(x)-])
\]例如：1.66
1、若\(a \neq 0,k>0\)，\(x \to 0\)時，\(f(x) \sim ax^k\)， \(\rightarrow\)
\(x \to 0\)時，f(x)是x的k階無窮小
2、若\(k>0\)時，\(\lim\limits_\frac\)
\(\rightarrow\)
\(x \to 0,f(x)\)是\(x\)的\(k\)階無窮小
3、若\(f(x) = a_0+a_1x+ \cdots a_k x^k \cdots\),其中\(a_0+a_1x+ \cdots a_=0\)，但\(a_k \neq 0\),則\(f(x)\)是x的k階無窮小
4、若\(x \to 0\),\(g(x)\)是x的n階無窮小,\(f(x)\)是x的m階無窮小,$$\int^_0 f(t) dt$$是x的\((m+1) \cdot n\)階無窮小
5、若\(x \to 0\)時\(f(x)\)與\(g(x)\)分別是x的m階無窮小和n階無窮小，又\(\lim\limits_ h(x) = a \neq 0\)，則
1）\(f(x) h(x)\)是x的m階無窮小
\(f(x)g(x)\)是x的\(m+n\)階無窮小
2）\(m>n\)時，\(f(x)+g(x)\)是x的n階無窮小
3）\(m=n\)時，\(f(x)+g(x)\)是x的n階或高於n階的無窮小
然後就可以用洛必達、拉格朗日中值定理
1、簡單放縮
n個正數之和不超過 n乘以最大值，不小於n乘以最小值
例如：$$\lim\limits_ (\frac + \frac \cdots \frac)$$
設原極限為a；
數列中最大值為\(\frac\)，最小值為\(\frac\)
\[\frac \cdot n \leq a \leq \frac \cdot n
\]\[\rightarrow \frac} \leq a \leq \frac}
\]\[\rightarrow a=1
\]有限m個數相加
例如：$$
\lim\limits_ \sqrt[n], 0 \leq a_i(i = 1,2,3, \cdots m)$$
這種題要注意，要找最大值，大於最大值，小於m個最大值之和
設原數列和為a，其最大值為\(a_1=max(a_1,a_2,\cdots ,a_m)\)則
\[a_1^n \leq a \leq a_1^n \cdot m
\]\[\rightarrow a_1 \leq \sqrt[n] \leq a_1 \cdot m^}
\]\[\rightarrow \lim\limits_ a = a_1=max(a_1, \cdots ,a_m)
\]重要結論：
形如$$\lim\limits_ \sqrt[n] = max(a_1,a_2,\cdots,a_m)$$m有限
例1：$$\lim\limits_ \sqrt[n]=4$$
例2：$$\lim\limits_ \sqrt[n])^n}$$(記得分類討論)
可短間斷點
\(x = x_0\) 時無定義
跳躍間斷點
左右極限不等
無窮間斷點
無極限，且無界
振盪間斷點
無極限卻有界
先找無定義點 \(x_0\)
求該點的極限$$\lim_ f(x) = \infty$$ 極限存在則，\(x = x_0\) 為垂直漸近線
求極限 $$\lim_ f(x) = a$$ \(a\)是否存在
存在則\(y = a\) 為水平漸近線
若\(y = f(x)\) 滿足：
\[\lim_ \frac = k$$ $k$ 存在
\]則有斜漸近線 \(y = kx + b\)
高等數學 函式 極限 連續
題型二 多項式求和 題型三 間斷點的判別 題型四 證明數列極限的存在性 1 七種不定型極限 零比零 一的無窮次方 無窮比無窮 零乘無窮 無窮減無窮 零的零次方 無窮的零次方。2 拿到乙個題的第一步應該是判斷屬於哪種不定型求極限，再動手。3 遇到x不趨近於零的極限，一般要用到換元，常見的通過sin，c...
高等數學 《函式與極限》總結筆記
1 理解函式的根本原理 對映的一種情況，實數集到實數集的對映 2 對映法則，也就是函式法則，自變數與應變數之間的法則 3 函式的特點 a 有界性 難度最大，需要構造不等式 b 單調性利用單調性證明不等式 c 奇偶性 d 週期性 注意週期變化，對應的函式是等價的 1 定義 數列在a的去心鄰域中 xn元...
高等數學 連續與間斷
目錄 一 函式的連續性 1 一點連續 2 閉區間連續 二 函式的間斷點 1 定義 2 分類 三 閉區間上連續函式的性質 1.最大值與最小值定理 2.有界性 3.零點定理 4.介值定理 定義 設函式y f x 在點x0的某一領域內有定義，如果 那麼就稱函式f x 在點x0連續。在區間上每一點都連續的函...