對於乙個方陣
\begin
a = \left[
\begin
a_ & a_ & \cdots & a_ \\
a_ & a_ & \cdots & a_ \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_ & a_ & \cdots & a_ \\
\end \right]
\end
用\(a_i\)來表示方陣\(a\)中第\(i\)個列向量。取n維空間中的一組單位正交基\(\boldsymbol,\boldsymbol, ..., \boldsymbol\)。
\begin
\boldsymbol = \left[
\begin
1 \\
0 \\
\vdots \\
0 \\
\end \right],
\boldsymbol = \left[
\begin
0 \\
1 \\
\vdots \\
0 \\
\end \right], \cdots ,
\boldsymbol = \left[
\begin
0 \\
0 \\
\vdots \\
n \\
\end \right].
\end
向量\(a_i\)於是可以表示成:
\begin
a_i = \left[
\begin
a_ \\
a_ \\
\vdots \\
a_ \\
\end \right]
= a_ \left[
\begin
1 \\
0 \\
\vdots \\
0 \\
\end \right]
我們先假設乙個三維空間，對於三維空間內的兩個向量，without loss of generality，我們可以用\(a_2\)和\(a_3\)來表示這兩個向量。那麼這兩個向量的叉乘\(a_2 \times a_3\)被定義為\begin
a_2 \times a_3 = \left|
\begin
\boldsymbol & \boldsymbol & \boldsymbol \\
a_ & a_ & a_ \\
a_ & a_ & a_ \\
\end \right|
= \left|
\begin
\boldsymbol & \boldsymbol & \boldsymbol \\
- & a_2^t & - \\
- & a_3^t & - \\
\end \right| .
\end
在(理解行列式1)中，關於2階和3階行列式的意義已經給出了，分別是2為空間的面積，和3維空間的體積。
這裡我們大膽猜想一下，在高維度的空間內，行列式\(\det a\)的意義實際上是\(n\)維空間內，由\(a\)中的\(n\)個列向量所唯一確定的平行\(2n\)麵體的體積。進一步將，將\(a_1\)與\(a_2, a_3, \cdots, a_n\)分離來，行列式\(\det a\)可以由下面的公式來計算
\begin
\det a = a_1 \cdot \left|
\begin
\boldsymbol & \boldsymbol & \boldsymbol & \cdots & \boldsymbol \\
- & - & a_2^t & - & - \\
- & - & a_3^t & - & - \\
& & \vdots & & \\
- & - & a_n^t & - & -
\end \right| .
\end
這剛剛好是乙個底面積乘以高形式的體積求法。
如果猜想1和猜想2正確的話，那麼對於
方陣和的行列式 方陣行列式的和
考慮同階方陣 a,b 問它們和的行列式與它們各自行列式的和是否相等 a b a b 結論是二者是不相等的。行列式的性質，我們知道，若行列式某 i 列 行 的元素都是 都可轉化為 兩數之和，則等於兩個行列式之和。d a11 a21 a n1a12 a22 a n2 b 1i c 1i b2i c2i ...
行列式的理解
從形式上看，n階行列式就是每行和每列都包含n個數的一種式子，它的最終結果是乙個數字，也就是乙個由n 個項相加減構成的多項式的最終結果。行列式的起源是對多元一次方程組的求解。行列式的結果d可以看成是按照某一行或者某一列展開的結果，展開的過程就是該行 列 中的每個數乘以每個數對應的代數余子式的結果再相加...
行列式的本質
考慮二維平面中的一組基向量 1,0 和 0,1 畫在座標系中表示其實就是沿著x軸和y軸的單位向量罷了，現在我們把這兩個基向量放在乙個矩陣中 當然，這並不是乙個巧合，事實上，當矩陣變成a 這時，我們讓矩陣再複雜一些，更進一步，當矩陣是 好吧，完全的面積解釋也許是不完善的，你也許想到行列式是可以為負的，...