給定n個物品和乙個揹包，物品\(i\)
\((1\le i \le n )\) 的重量為\(w_i\) ,其價值為\(v_i\) ,揹包容量為c,對每種物品只有兩種選擇：裝入揹包或者不裝。如何選擇裝入揹包的物品，使得裝入揹包的物品的總價值最大？
剛開始是我不是很理解這個容量是什麼意思，我以為是能裝多少個物品的意思，事實上這個容量的意思是，這個揹包所能過裝的最大重量。
所以，這個題目的意思是，我這個揹包只能裝這麼重的東西，我要怎麼裝，才能讓我帶走的東西價值最高。
我們可以這麼想，我們這些物品的子集全部找出來，然後再找出這些子集中重量和不超過c的，然後從中找到價值最大的子集，然後這個子集上的東西就是我要帶走的東西了。
但是，我們分析一下就會知道，對於n個物品，它的子集個數為\(2^n\) ，也就是說，它是呈指數趨勢增長的，如果我們的物品很多，那這樣產生的子集巨多，我們還按照上面的想法去幹顯然很呆。
然後，老師教我們用動態規劃去做，名詞聽起來就高階，然而我並不能理解動態規劃是個什麼思想，但這並不影響我去做這道題。也許學多一點以後就會知道了吧。那下面說一下我理解的思路：
我們把這些物品的重量用乙個陣列存起來，記為\(w[i]\)
把它們對應的價值也用乙個陣列存起來，記為\(v[i]\)
那下面我們先不考慮選哪些物品的問題，先找出這個最大的價值。
我們這樣子定義val(i,j),它表示將i個物品裝入容量為j的揹包所獲得的最大價值，至於裝哪些東西進揹包才能獲得最大價值，這就需要我們進行決策了。很明顯，這是我們01揹包問題的乙個子問題。我們假設前i-1個物品已經決策好了，現在來決策第i個物品，那我們現在是不是就只要考慮要不要把i裝入揹包就行了？如果把它裝入揹包後的價值變大，那我自然是把它裝進來呀，是吧。好，那麼我們寫一下在第i個位置的決策情況,我們來分析裝和不裝的情況下的價值：
如果當前剩餘的容量\(,不能裝入，當前價值等於前i-1個物品決策出來的價值，即\(val(i-1,j)\)
如果剩餘容量\(>w[i]\)，我可以有裝入i和不裝這兩種選擇，我選哪種呢？那肯定做出價值大的那個選擇。如果不裝的話，當前價值就是：\(val(i,j)=val(i-1,j)\) ,也就是當前價值等於前i-1個物品決策出來的價值。如果選的話，那\(val(i,j)=val(i-1,j-w[i])+v[i]\) ,那當前價值相當於把前i-1個物品裝入j-w[i]容量的價值加上這個物品的價值。然後我們取上面兩種情況中價值大的作為決策依據。
也就是說，對第i個物品決策時，我的價值的情況如下：
好，那我現在得到一條遞推式了，我自然而然的就可以推出第i+1個物品在揹包剩餘容量已知的情況下的最佳決策，第i+2個物品的在揹包剩餘容量已知的情況下的最佳決策········一直可以推出，有n個物品，已知揹包剩餘容量為c的情況下的最佳決策，也就是最大價值，這是不是也就解決了我的問題？
其實還有乙個問題沒有解決，那就是我上面這條公式的起始情況是什麼？
不難發現，當我們決策第1 個物品時，我們要依賴前0個物品的決策結果，那我們來看第0個物品怎麼決策的，現在有0個物品，要把它們裝進容量為j的揹包，怎樣裝才能價值最大？顯然無論怎麼裝，價值都是0。
還有類似的，我有i個物品，把它們裝入到容量為0的揹包，價值當然也是0。那麼，起始情況如下：
val(0,j)=0;
val(i,0)=0;
上面我們的到了決策的最大價值，那下面我們來看看到底那些物品被我們裝入了揹包：
我們回顧上面的內容，我們會發現，對於每乙個val(i,j)的值，我是不是都可以通過前乙個物品的決策結果得到，也就是說，對於每乙個val(i,j)，我是不是都要存著，方便下乙個物品決策時參考？那我們用乙個二維陣列來存它們就剛剛好。
那經過上面那些決策，我們的二維陣列val[n+1][c+1]是不是就已經填好了？注意了，我這裡陣列大小為什麼是n+1和c+1,因為我們上面把第0個物品和揹包容量為0，都算作正常情況，那0個物品也算作一種情況。當然，你也可以把它看作是一種初始化，我這麼講是為了方便理解。
好，那我的二維表已經填好了。那我們來判斷第i個物品有沒有裝入到揹包中，那我們是不是可以比較一下前i-1個物品在揹包容量為j時決策所得的價值和前i個物品在同種情況下的價值大小？如果val(i,j)=val(i-1,j)是不是說明，第i個物體沒有被裝入揹包啊,因為如果裝入的話，它的價值應該是比前乙個大的。那麼，我從後往前推是不是就可以判斷出哪些物品被裝入了揹包，哪些沒有？那到此為止，問題就解決了。
#include #include using namespace std;
int main()
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int i = 1; i <= n; i++)
}int x[n];
for (int j = c, i = n; i > 0; i--) else
x[i] = 0;
}cout << val[n][c] << endl;
for (int i = 1; i <= n; i++)
return 0;
}
經過這篇部落格的寫作，我好像有一點理解動態規劃是個什麼概念了，大概就是當前的決策問題要依靠前面的決策結果才能作出決策，然後通過遞推關係式能夠得到最終的結果，這個好像又有點像遞迴，有點分不清。我想大概思想就是盡可能地利用中間過程的結果為下一步決策。具體的還沒有搞懂。
雖然有點理解揹包問題了，但是用文字描述出來總感覺怪怪的，好像就是有點表達不清楚的樣子，尤其是推最大價值那部分。希望以後能進一步改進一下，有大佬理解的話還希望能夠點撥一下，萬分感謝。
在編碼過程中要注意對資料進行初始化，不然會有你意想不到的結果，還有就是陣列不要越界，這同樣會發生不可預估的錯誤。在定義和使用w[n]和v[n]以及val[n+1][c+1]時尤其要注意，從+1這個操作應該就會想到了。
揹包問題 01揹包問題
n個物品，總體積是v，每個物品的體積的vi，每個物品的最大價值是wi，在不超過v的體積下求最大價值 eg揹包容積為 5 物品數量為 4 物品的體積分別為 物品的價值分別為 思路定義乙個二位陣列int f new int n 1 v 1 f i j 就表示在1 i個物品中選取體積小於v的情況的最大價值...
揹包問題 01揹包
有n件物品和乙個容量為v的揹包。第i件物品的重量是c i 價值是w i 求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。01揹包中的 01 就是一種物品只有1件，你可以選擇放進去揹包即1，也可以選擇不放入揹包中即0。include include using namespace std const int ...
揹包問題（01揹包）
1085 揹包問題 在n件物品取出若干件放在容量為w的揹包裡，每件物品的體積為w1，w2 wn wi為整數 與之相對應的價值為p1,p2 pn pi為整數 求揹包能夠容納的最大價值。input 第1行，2個整數，n和w中間用空格隔開。n為物品的數量，w為揹包的容量。1 n 100，1 w 10000...