給出乙個線性方程組， 有 \(n\) 個未知數和 \(m\) 個方程
\[a_x_1 + a_x_2 + ... + a_x_n = b_1\\
a_x_1 + a_x_2 + ... + a_x_n = b_2\\
...\\
a_x_1 + a_x_2 + ... + a_x_n = b_m
\]對於解該線性方程組，首先構造增廣矩陣，按列分塊：
\[a = \left[
\begin
a_ & a_ & ... & a_ & b_ \\
a_ & a_ & ... & a_ & b_ \\
... & ... & ... & ... & ... \\
a_ & a_ & ... & a_ & b_ \\
\end
\right] \tag
= [\alpha_1 ~~ \alpha_2 ~~ ... ~~ \alpha_n ~~ \beta]
\]對於該增廣矩陣，我們利用高斯消元進行求解
秩乙個矩陣 \(a\) 的列秩是 \(a\) 的線性無關的縱列的極大數目。類似的，行秩是 \(a\) 的線性無關的橫行的極大數目，矩陣的列秩和行秩總是想等的，因為它們可以簡單的稱作為矩陣 \(a\) 的秩，通常用 \(r(a), rank(a)~~, ~~ rk(a)\) 表示
行列式定義：設矩陣 \(a\) 為 \(m \times n\) 矩陣，若 \(a\) 至少有乙個 \(r\) 階非零子式，而其所有 \(r + 1\) 階子式全為零，則稱 \(r\) 為 \(a\) 的秩
奇異對於乙個方程 \(a\) 滿足條件 \(det(a) ≠ 0\) ，則稱 \(a\) 為非奇異方陣，否則稱為奇異矩陣， \(det(a)\) 表示 \(a\) 的行列式不為零
方陣 \(a\) 非奇異與一下論述等價：
線性相關
在乙個向量空間的一組元素中，若沒有向量可用有限個其他向量的線性組合所表示，則稱為線性無關或線性獨立，反之稱為線性相關，例如在三維歐幾里得空間 \(\mathbb^3\) 的三個向量 \((1, 0, 0), (0, 1, 0) 和 （0，0，1）\) 線性無關，但 \((2, -1, 1), (1, 0, 1) 和 (3,-1,2)\) 線性相關，因為第三個式前兩個的和
若由向量組 \(a_1, a_2, ...,a_s\)， 其中 \(a_1 = 0\), 則 \(a_1 = 0 · a_2 + ... + 0 · a_s\)
若由向量組 \(a_1, a_2, ...,a_s\)， 其中 \(a_1 = a_2\), 則 \(a_1 = a_2 + 0 ·a_3 + ... + 0 · a_s\)
基 (basis)
向量空間 \(s\) 中的基首先應該遵循兩個條件：
基的擴張：
乙個向量空間的每一組基都是乙個極大的線性無關集合，同時也是極小的生成集合。可以證明，如果向量空間擁有一組基，那麼每個線性無關的子集都可以擴張成一組基（也稱為基的擴充定理），每個能夠生成整個空間的子集也必然包含一組基
線性方程組
給出乙個線性方程組的標準形式 a11x1 a12x 2 a1nx na21x 1 a22 x2 a2n xnan 1x1 an2x 2 annx n b1 b2 bn 1x 2y 34x 5y 6 1 2 這裡由克萊姆法則進行計算得出xy 3625 14 25 3 5 2 61 5 2 4 3 3 ...
線性方程組
若線性方程組相容，則此方程組有1個或無窮多個解 若線性方程組不相容，則該方程組無解。線性方程組所有解的集合被稱為線性方程組的解集 若線性方程組不相容，則解集為空集。若兩個含有相同變數的方程組具有相同的解集，則稱它們是等價的。有三種運算可以得到等價的方程組 交換任意兩個方程的順序 任一方程兩邊同乘乙個...
齊次線性方程組和非齊次線性方程組
定義齊次線性方程組 等式右側常數項全部為0 非齊次線性方程組 等式右側常數項不全部為0 2.齊次方程組的求解 將係數矩陣化為行階梯形矩陣，記全為0的行數量為r n r a 則非零行的首非零元所在列對應的就是約束變數,其餘變數即為自由變數。將後r個自由變數未知數，每次只有乙個取值為1 其餘為0 然後每...