一. 矩陣分解：
矩陣分解 (decomposition, factorization)是將矩陣拆解為數個矩陣的乘積，可分為三角分解、滿秩分解、qr分解、jordan分解和svd（奇異值）分解等，常見的有三種：1)三角分解法 (triangular factorization)，2)qr 分解法 (qr factorization)，3)奇異值分解法 (singular value decompostion)。
1. lu三角分解：
三角分解法是將原正方 (square) 矩陣分解成乙個上三角形矩陣 或是排列(permuted) 的上三角形矩陣和乙個 下三角形矩陣，這樣的分解法又稱為lu分解法。它的用途主要在簡化乙個大矩陣的行列式值的計算過程，求 反矩陣，和求解聯立方程組。不過要注意這種分解法所得到的上下三角形矩陣並非唯一，還可找到數個不同 的一對上下三角形矩陣，此兩三角形矩陣相乘也會得到原矩陣。
matlab以lu函式來執行lu分解法， 其語法為[l,u]=lu(a)。
2. qr分解：
qr分解法是將矩陣分解成乙個正規正交矩陣與上三角形矩陣,所以稱為qr分解法,與此正規正交矩陣的通用符號q有關。
matlab以qr函式來執行qr分解法， 其語法為[q,r]=qr(a)。
3. 奇異值分解：
奇異值分解 (singular value decomposition,svd) 是另一種正交矩陣分解法；svd是最可靠的分解法，但是它比qr 分解法要花上近十倍的計算時間。[u,s,v]=svd(a)，其中u和v分別代表兩個正交矩陣，而s代表一對角矩陣。 和qr分解法相同， 原矩陣a不必為正方矩陣。使用svd分解法的用途是解最小平方誤差法和資料壓縮。
matlab以svd函式來執行svd分解法， 其語法為[s,v,d]=svd(a)。
4. llt分解：
a=ll^t
cholesky 分解是把乙個對稱正定的矩陣表示成乙個下三角矩陣l和其轉置的乘積的分解。它要求矩陣的所有特徵值必須大於零，故分解的下三角的對角元也是大於零的（lu三角分解法的變形）。
5. ldlt分解法：
若a為一對稱矩陣且其任意一k階主子陣均不為零，則a有如下惟一的分解形式：
a=ldl^t
其中l為一下三角形單位矩陣（即主對角線元素皆為1），d為一對角矩陣（只在主對角線上有元素，其餘皆為零），l^t為l的轉置矩陣。
ldlt分解法實際上是cholesky分解法的改進，因為cholesky分解法雖然不需要選主元，但其運算過程中涉及到開方問題，而ldlt分解法則避免了這一問題，可用於求解線性方程組。
MATLAB解線性方程組
rref 函式 把矩陣換為行最簡形 可以用來解線性方程組，求矩陣的秩，求矩陣行最簡形 每行首元所在的列只有它乙個是1 首元所在的列數。例如 我們知道乙個方程組 a x b 中 a 係數矩陣 和b列向量 a 2 2 2 6 2 1 2 4 3 1 4 4 1 1 1 3 b 16 10 11 12 u...
線性方程組
給出乙個線性方程組的標準形式 a11x1 a12x 2 a1nx na21x 1 a22 x2 a2n xnan 1x1 an2x 2 annx n b1 b2 bn 1x 2y 34x 5y 6 1 2 這裡由克萊姆法則進行計算得出xy 3625 14 25 3 5 2 61 5 2 4 3 3 ...
線性方程組
若線性方程組相容，則此方程組有1個或無窮多個解 若線性方程組不相容，則該方程組無解。線性方程組所有解的集合被稱為線性方程組的解集 若線性方程組不相容，則解集為空集。若兩個含有相同變數的方程組具有相同的解集，則稱它們是等價的。有三種運算可以得到等價的方程組 交換任意兩個方程的順序 任一方程兩邊同乘乙個...