線性方程組

給出乙個線性方程組的標準形式

a11x1

+a12x

2+⋯+

a1nx

na21x

1+a22

x2+⋯

+a2n

xnan

1x1+

an2x

2+⋯+

annx

n=b1

=b2⋯

=bn

1x

+2y=

34x+

5y=6

(1)(2)

=∣∣∣

3625

∣∣∣∣

∣∣14

25∣∣

∣=3⋅

5−2⋅

61⋅5

−2⋅4

=3−3

=−1=

∣∣∣1

436∣

∣∣∣∣

∣142

5∣∣∣

=1⋅6

−3⋅4

1⋅5−

2⋅4=

−6−3

=2(5)(6)

據gilber strang老爺子講：當未知數的個數

n 很大時（比方說n=

1000

其實對於今天2023年的科學計算來說根本不算什麼），使用克萊姆法則來解線性方程組根本就是乙個災難(a total disaster)。計算量大概是在100萬這個量級。其實，當

n 比較大的時候，還是高斯消元法更靠譜一點。

在我讀初中的時候，解所謂的二元(三元也幹過)一次方程組，用過兩種方法：代入消元法和加減消元法。其實這個加減消元法就和高斯消元法比較像了，只不過高斯消元法應該滿足一些更多的使得計算更簡便（有些時候是為了能機械的讓計算機執行）的規則。

b.矩陣表示(matrix notation)

c.奇異情形(singular case)

d.消元的步數(number of elimination steps)

先從乙個更簡單的二元一次方程組開始

2x

−yx+

y=1=

5

−y=1

與 方程x+

y=5 實際上代表了二維空間內的兩條直線。二這個方程式的解其實就是這兩條直線的交點。

可以將方程組的係數看成是兩個向量，這次我們豎著看，這兩個向量分別是[2

1]和[−1

1]。未知數

x 和

y可以看做是這兩個向量前面的係數，然後給這兩個向量做了乙個加權和(weighted sum)，即x[

21]+

y[−1

1]。方程組的解，也就是

x 和

y的值，是可以使向量x[

21]+

y[−1

1]剛好等於[1

5]的。

當未知數的個數

n 大於2時：

我們得到了

2u

+−v8

v+−w

2w1w

===5

−122(7)

(10)

(12)

2 ,代入到(10)中，我們得出v=

1 ，再把

w 和

v的值帶回(7)中，我們知道了v=

1 。這個過程被稱之為回代(back substitution)。

根據定義，pivot不可以是零。

有時候可能會恰巧遇到第i行的第i個未知數前面的係數是0，那麼將這一行和後面的某一行換一下位置。

線性方程組

若線性方程組相容，則此方程組有1個或無窮多個解 若線性方程組不相容，則該方程組無解。線性方程組所有解的集合被稱為線性方程組的解集 若線性方程組不相容，則解集為空集。若兩個含有相同變數的方程組具有相同的解集，則稱它們是等價的。有三種運算可以得到等價的方程組 交換任意兩個方程的順序 任一方程兩邊同乘乙個...

線性方程組

給出乙個線性方程組，有 n 個未知數和 m 個方程 a x 1 a x 2 a x n b 1 a x 1 a x 2 a x n b 2 a x 1 a x 2 a x n b m 對於解該線性方程組，首先構造增廣矩陣，按列分塊 a left begin a a a b a a a b a a a...

齊次線性方程組和非齊次線性方程組

定義齊次線性方程組 等式右側常數項全部為0 非齊次線性方程組 等式右側常數項不全部為0 2.齊次方程組的求解 將係數矩陣化為行階梯形矩陣，記全為0的行數量為r n r a 則非零行的首非零元所在列對應的就是約束變數,其餘變數即為自由變數。將後r個自由變數未知數，每次只有乙個取值為1 其餘為0 然後每...