母函式問題

首先說下母函式定義：

生成函式即母函式，是組合數學中尤其是計數方面的乙個重要理論和工具。生成函式有普通型生成函式和指數型生成函式兩種，其中普通型用的比較多。形式上說，普通型生成函式用於解決多重集的組合問題，而指數型母函式用於解決多重集的排列問題。母函式還可以解決遞迴數列的通項問題（例如使用母函式解決斐波那契數列的通項公式）。

母函式的精髓：

1.「把組合問題的加法法則和冪級數的乘冪對應起來」

2.「母函式的思想很簡單 — 就是把離散數列和冪級數一一對應起來，把離散數列間的相互結合關係對應成為冪級數間的運算關係，最後由冪級數形式來確定離散數列的構造."

1.x的係數是a1,a2,…an 的單個組合的全體。

2. x2的係數是a1,a2,…a2的兩個組合的全體。

………n. xn的係數是a1,a2,….an的n個組合的全體（只有1個）。

進一步可得到：

對於序列a0，a1，a2，…構造一函式：

稱函式g(x)是序列a0，a1，a2，…的母函式

這裡先給出2個例子，等會再結合題目分析：第一種：

有1克、2克、3克、4克的砝碼各一枚，能稱出哪幾種重量？每種重量各有幾種可能方案？

考慮用母函式來解決這個問題：

我們假設x表示砝碼，x的指數表示砝碼的重量，這樣：

1個1克的砝碼可以用函式1+1*x^1表示，

1個2克的砝碼可以用函式1+1*x^2表示，

1個3克的砝碼可以用函式1+1*x^3表示，

1個4克的砝碼可以用函式1+1*x^4表示，

上面這四個式子懂了嗎

我們拿1+x^2來說，前面已經說過，x表示砝碼，x的指數表示砝碼的重量！初始狀態時，這裡就是乙個質量為2的砝碼。

那麼前面的1表示什麼？按照上面的理解，1其實應該寫為：1*x^0,即1代表重量為2的砝碼數量為0個。

所以這裡1+1*x^2 = 1*x^0 + 1*x^2，即表示2克的砝碼有兩種狀態，不取或取，不取則為1*x^0，取則為1*x^2

我們這裡結合前面那句話：

「把組合問題的加法法則和冪級數的乘冪對應起來「

這裡的係數砝碼個數，這裡的指數是砝碼的重量。

1+x^2，也就是1*x^0 + 1*x^2，也就是上面說的不取2克砝碼，此時有1種狀態；或者取2克砝碼，此時也有1種狀態。

幾種砝碼的組合可以稱重的情況，可以用以上幾個函式的乘積表示：

(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)

=(1+x+x^2+x^4)(1+x^3+^4+x^7)

=1 + x + x^2 + 2*x^3 + 2*x^4 + 2*x^5 + 2*x^6 + 2*x^7 + x^8 + x^9 + x^10

從上面的函式知道：可稱出從1克到10克，係數便是方案數。（！！！經典！！！）

例如右端有2^x^5 項，即稱出5克的方案有2種：5=3+2=4+1；同樣，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。

故稱出6克的方案數有2種，稱出10克的方案數有1種。

下邊就是第二個例子：

求用1分、2分、3分的郵票貼出不同數值的方案數：

大家把這種情況和第一種比較有何區別？第一種每種是乙個，而這裡每種是無限的。

以展開後的x^4為例，其係數為4，即4拆分成1、2、3之和的拆分方案數為4；

即：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

這裡再引出兩個概念"整數拆分"和"拆分數"：

所謂整數拆分即把整數分解成若干整數的和（相當於把n個無區別的球放到n個無標誌的盒子，盒子允許空，也允許放多於乙個球）。

整數拆分成若干整數的和，辦法不一，不同拆分法的總數叫做拆分數。、

#includeusing
namespace
std;
const
int _max=10001
;int
c1[_max], c2[_max];
intmain()
for(i=2;i<=num;i++)
for(j=0;j<=num;j++)
}cout
}return0;
}

這是乙個萬能模板，基本上大多數組合類題都可以用這個方法，有的可以直接用，不過大多都需要修改部分

直接用的例題：

需修改下的：

這裡我想說一下這個題：

要想做出這題，需要理解這個模板

利用母函式法來解決，因為分成兩堆，而兩堆中較小的一堆最大為所有物品總價值量的一半，所以母函式的組合數上下就可以設定成總價值量的一半。求出所有的組合後，可以利用貪心的思想來得到答案，因為要求兩堆之差盡可能小，所以就可以從總價值量的一半開始向小的方向找，找到最大的價值量，則另一堆的價值量就是總價值量-此堆的價值量。因為組合數可能較大，這裡不記錄組合種數，而是用乙個標記來表示該數能否組合出即可。

#include using namespace std;
int c1[250010], c2[250010];
int value[55];
int amount[55];
int main()
memset(c1, 0, sum*sizeof(c1[0]));
memset(c2, 0, sum*sizeof(c2[0]));
for(int i=0; i<=value[1]*amount[1]; i+=value[1])　　　　//初始化第乙個表示式
c1[i] = 1;
int len = value[1]*amount[1];　　　　　　　　　　　　//第乙個表示式的長度
for(int i=2; i<=nnum; ++i)　　　　　　　　　　　　
len += value[i]*amount[i];
for(int j=0; j<=len; ++j)
}for(int i= sum/2; i>=0; --i)
if(c1[i] != 0)
}return 0;
}

推薦：hdoj：1709，1028、1709、1085、1171、1398、2069、2152

母函式問題

母函式問題

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ACM 母函式問題模板

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