動態規劃演算法

動態規劃演算法通常用於求解具有某種最優性質的問題）並具有最優子結構（optimal substructure，想想最短路徑演算法）的問題，動態規劃比通常演算法花費更少時間。在這類問題中，可能會有許多可行解。每乙個解都對應於乙個值，我們希望找到具有最優值的解。動態規劃演算法與分治法類似，其基本思想也是將待求解問題分解成若干個子問題，先求解子問題，然後從這些子問題的解得到原問題的解。與分治法不同的是，適合於用動態規劃求解的問題，經分解得到子問題往往不是互相獨立的。若用分治法來解這類問題，則分解得到的子問題數目太多，有些子問題被重複計算了很多次。如果我們能夠儲存已解決的子問題的答案，而在需要時再找出已求得的答案，這樣就可以避免大量的重複計算，節省時間。我們可以用乙個表來記錄所有已解的子問題的答案。不管該子問題以後是否被用到，只要它被計算過，就將其結果填入表中。這就是動態規劃法的基本思路。具體的動態規劃演算法多種多樣，但它們具有相同的填**式。

動態規劃的應用十分廣泛，如最大子串行和、最優二叉查詢樹、斐波那契數列等等。

1. 最大子串行和

這裡**兩篇不錯的文章：

最大子串行和問題

動態規劃法-------最大連續子串行和

2. 斐波那契數列

尋找fibonacci序列中第n個數，基於其數學定義的直接實現：

function fib(n)

if n = 0

return 0

else if n = 1

return 1

return fib(n-1) + fib(n-2)

如果我們呼叫fib(5)，將產生一棵對於同一值重複計算多次的呼叫樹：

fib(5)

fib(4) + fib(3)

(fib(3) + fib(2)) + (fib(2) + fib(1))

((fib(2) + fib(1)) + (fib(1) + fib(0))) + ((fib(1) + fib(0)) + fib(1))

(((fib(1) + fib(0)) + fib(1)) + (fib(1) + fib(0))) + ((fib(1) + fib(0)) + fib(1))

特別是，fib(2)計算了3次。在更大規模的例子中，還有更多fib的值被重複計算，將消耗指數級時間。

var m := map(0 → 1, 1 → 1)

function fib(n)

if map m does not contain key n

m[n] := fib(n-1) + fib(n-2)

return m[n]

這一儲存已計算出的數值的技術即被稱為快取，這兒使用的是自頂向下的方法：先將問題劃分為若干子問題，然後計算和儲存值。

在自下而上的方法中，我們先計算較小的fib，然後基於其計算更大的fib。這種方法也只花費線性（o(n)）時間，因為它包含乙個n-1次的迴圈。然而，這一方法只需要常數（o(1)）的空間，相反，自頂向下的方法則需要o(n)的空間來儲存對映關係。

function fib(n)

var previousfib := 0, currentfib := 1

if n = 0

return 0

else if n = 1

return 1

repeat n-1 times

var newfib := previousfib + currentfib

previousfib := currentfib

currentfib := newfib

return currentfib

在這兩個例子，我們都只計算fib(2)一次，然後用它來計算fib(3)和fib(4)，而不是每次都重新計算。

3. 貨幣找零問題

見:貨幣找零問題

未完待續...

動態規劃演算法

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