斯特林數筆記整理

最近快被數學折磨瘋了，具體數學上得快內容也難，在此整理一下所學的內容

第一類斯特林數\(\begin

n\\k

\end\)表示從\(n\)個元素中組成\(k\)個迴圈的方案數，此處的迴圈合起來構成乙個與原排列對應的置換(參考置換群)。注意:迴圈的內部是圓周有序的，即\((a_1a_2a_3)\)與\((a_2a_3a_1)\)等價。

從組合的意義可以得到\(\beginn\\k\end\)的遞推式

\[\beginn\\k\end=(n-1)\beginn-1\\k\end+\beginn-1\\k-1\end

\]即當前的狀態可以由直接新增乙個新集合與放在任意乙個元素後面轉移而來

根據置換的性質，可以得到\(\beginn\\k\end\)與\(n!\)的關係

\[\sigma_k\beginn\\k\end=n!

\]由於任何乙個置換都與乙個排列一一對應，所以置換的總數與排列的總數相等

第一類斯特林數還可以用與上公升冪與下降冪的展開

\[x^}=\sigma\beginn\\k\endx^k\\

x^}=\sigma\beginn\\k\end(-1)^x^k\\

\]首先可以直觀感性的理解一下,\(x^},所以\(x^n\)轉化成下降冪需要容斥，而上公升冪則不用。這兩個公式非常有用，直接將上公升冪下降冪與自然冪聯絡在一起。形式上也較為簡潔，類似於二項式反演。

至於證明，懶得寫了，這篇文章的大部分公式證明都可以利用數學歸納法，大概思路就是先對和式進行擾動，利用吸收公式化簡式子，並提取出公因式，最後利用遞推式直接匯出結果。

相似的，第二類斯特林數\(\beginn\\k\end\)表示將\(n\)個元素劃分為\(k\)個非空集合的方案數，可以讀作"n子集k"。比起\(\beginn\\k\end\),\(\beginn\\k\end\)由於其內部無序性，顯然不會更大。由於組合意義更加簡潔，它的出現也更為頻繁。

從組合的意義可以得到\(\beginn\\k\end\)的遞推式

\[\beginn\\k\end=k\beginn-1\\k\end+\beginn-1\\k-1\end

\]即當前的狀態可以由直接新增乙個新集合與插入任意乙個已有集合轉移而來

第二類斯特林數由於其無序性，沒有與階乘有關的和式。但是它同樣有關於上公升冪下降冪與自然冪的展開式

\[x^n=\sigma_k\beginn\\k\endx^}\\

x^n=\sigma_k\beginn\\k\end(-1)^x^}\\

\]模擬於上面的反演式，\(-1\)可以從容斥的角度來理解

類似於組合數，斯特林數並不要求\(n,k\)均為正整數，關於有符號斯特林數也有乙個優美的公式

\[\beginn\\k\end=\begin-k\\-n\end

\]關於兩類斯特林數還有許多關於組合數的求和公式，從組合意義的角度去理解比較好，證明的話除了數學歸納法其他的方式過於繁瑣我太菜了不會，在此不贅述

就是將上面幾個關於上公升冪下降冪與自然冪的式子結合起來看

\[x^n=\sigma_k\beginn\\k\endx^}\\

x^n=\sigma_k\beginn\\k\end(-1)^x^}\\

x^}=\sigma\beginn\\k\endx^k\\

x^}=\sigma\beginn\\k\end(-1)^x^k\\

\]得到

\[g(n)=\sigma_k(-1)^\beginn\\k\endf(k)\\

f(n)=\sigma_k\beginn\\k\endg(k)\\

\]證明的話把式子一層層剝開，直接交換順序組合在一起就是了。

目前並沒有做過很多利用斯特林數性質的題，一題都不會做，基本也是和組合數中的求和式扯在一起。以後會慢慢收集一些題再歸納整理。