二項式反演 斯特林數 斯特林反演 學習筆記

從錯排數講起，

考慮乙個有n個元素的排列，若乙個排列中所有的元素都不在自己原來的位置上，那麼這樣的排列就稱為原排列的乙個錯排。

n)=∑

i=1n

(−1)

i(ni

)(n−

i)!

考慮二項式定理，(1

−1)n

=∑i=

0n(−

1)i(

ni)=

0 上式當n=0時值為1，所以有∑i

=0n(

−1)i

(ni)

=[n=

0]（∗

式）設n個元素排列數f(n)=n!，則顯然有f(

n)=∑

i=0n

(ni)

g(i)

將g(n)換一下形式有g(

n)=∑

i=0n

[n−i

=0](

ni)g

(i)

將*式代入，有g(

n)=∑

i=0n

∑j=0

n−i(

−1)j

(n−i

j)(n

i)g(

i)注意到(n

−ij)

(ni)

=(nj

)(n−

ji)

所以，有g(

n)=∑

i=0n

∑j=0

n−i(

−1)j

(nj)

(n−j

i)g(

i)交換求和順序，g(

n)=∑

j=0n

−i(−

1)j(

nj)∑

i=0n

(n−j

i)g(

i)注意到右邊是f()的形式g(

n)=∑

i=0n

(−1)

i(ni

)f(n

−i)

換一下下標g(

n)=∑

i=0n

(−1)

n−i(

ni)f

(i)

這就是二項式反演：

若f(

n)=∑

ni=0

(ni)

g(i)

則g(n)=∑

ni=0

(−1)

n−i(

ni)f

(i)

留坑待填

第二類斯特林數：

n個不同的元素拆分成m個集合的方案數

遞推公式（列舉最後乙個元素轉移）：

= +m*

通項公式：

注意到kn=

∑km=

0amk

（n個不同的元素拆分成m個集合的方案數，允許空集） 則有k

n=∑m

=0k(

km)m

! 使用二項式反演，則有m!

=∑k=

0m(−

1)m−

k(mk

)kn

整理後得到=1

m!∑k

=0m(

−1)k

(mk)

(m−k

)n留坑待填

斯特林數 斯特林反演

第一類stirling數 s n,m 也可記為 beginn m end 第一類stirling分為無符號第一類stirling數 s u n,m 和帶符號第一類stirling數 s s n,m 他們分別表現為其公升階函式和降階函式的各項係數，形式如下 x x cdot x 1 cdot x 2 ...

Square（斯特林反演）

給出乙個 n m 大小的矩形，每個位置可以填上 1,c 中的任意乙個數，要求填好後任意兩行互不等價且任意兩列互不等價，兩行或兩列等價當且僅當對應位置完全相同，求方案數 n,m le 5000 這題是 wearry 出的神題，根本不會做。把題解搬過來了。首先我們有乙個很簡單的方式使得列之間互不等價，對...

知識點簡單總結 斯特林數 斯特林反演

第一類斯特林數 n 元置換分解為 k 個獨立輪換的方案數，即 begin n k end n 1 begin n 1 k end begin n 1 k 1 end.第二類斯特林數 n 個元素分成 k 個非空集合的方案數，即 begin n k end k begin n 1 k end begin...