這篇文主要記錄一些lizbaka在學習斯特林數時遇到的一些比較關鍵的點第二類斯特林數\(\beginn\\k\end\)表示\(n\)個元素劃分成\(k\)個非空無標號集合的方案數此文條理較為混亂，不甚完善，主要以作為筆記為目的，僅供參考
其遞推方程為：
\[\beginn\\k\end=\beginn-1\\k-1\end+k\times\beginn-1\\k\end
\]\[\begin0\\0\end=1
\]其意義為，最後乙個元素，單獨組成乙個集合，或加入已有的任意乙個集合
第二類斯特林數\(\beginn\\k\end\)又稱為「\(n\)子集\(k\)」
第二類斯特林數的展開式為：
\[\beginn\\k\end=\frac\sum_^k(-1)^i\begink\\i\end(k-i)^n
\]考慮盒子有標號，且允許有空盒的情況
那麼有\(i\)個盒子為空的方案數即為\(\begink\\i\end(k-i)^n\)
容斥一下，再除以乙個階乘變成無標號的情況即可
進一步整理，式子化為
\[\beginn\\k\end=\sum_^k\frac\times \frac
\]這是乙個卷積形式的式子，可以利用fft/ntt求得
第一類斯特林數\(\beginn\\k\end\)表示\(n\)個元素劃分成\(k\)個圓排列的方案數
其遞推方程為：
\[\beginn\\k\end=\beginn-1\\k-1\end+(n-1)\times\beginn-1\\k\end
\]\[\begin0\\0\end=1
\]其意義為，最後乙個元素，單獨組成乙個圓排列，或者插入到已有的任意乙個元素的左側
第一類斯特林數\(\beginn\\k\end\)又稱為「\(n\)輪換\(k\)」
每乙個排列都與乙個輪換的集合等價(《具體數學》\(p217-p218\))
於是有:
\[\sum_^n\beginn\\k\end=n!(n\ge0)
\]記下降冪：
\[x^=x\times(x-1)\times(x-2)\cdots\times(x-n+1)
\]記上公升冪：
\[x^=x\times(x+1)\times(x+2)\cdots\times(x+n+1)
\]這常常出現在組合計數中
冪之間的轉換公式(《具體數學》\(p219-p220\))：
\[x^=\sum_^n\beginn\\k\endx^k
\]\[x^=\sum_^n\beginn\\k\end(-1)^x^k
\]\[x^n=\sum_^n\beginn\\k\endx^=\sum_^n\beginn\\k\end(-1)^x^
\]事實上，我們可以建立常冪與組合數之間的關係：
\[x^n=\sum_^n\beginn\\k\endx^=\sum_^n\beginn\\k\end\times k!\times \beginx\\k\end
\]從而轉化到組合數進行求解
斯特林數筆記整理
最近快被數學折磨瘋了，具體數學上得快內容也難，在此整理一下所學的內容 第一類斯特林數 begin n k end 表示從 n 個元素中組成 k 個迴圈的方案數，此處的迴圈合起來構成乙個與原排列對應的置換 參考置換群 注意 迴圈的內部是圓周有序的，即 a 1a 2a 3 與 a 2a 3a 1 等價。...
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