DP1 動態規劃概述

計數求最大值最小值

求存在性

確定狀態

簡單的說，就是解動態規劃時需要開乙個陣列，陣列的每個元素f[i]或者f[i][j]代表什麼，類似解數學題中，xyz代表什麼一樣，具體分為下面兩個步驟：

轉移方程

根據子問題定義直接得到

初始條件和邊界情況

初始條件一般都是a[0]、a[1]這種，多看看邊界條件主要是看陣列的邊界，陣列越不越界

計算順序

利用之前的計算結果，一般從左到右，從上到下

題目：有三種硬幣，面值2.5.7，買一本書需要27元，如何用最少的硬幣剛好付清。

確定狀態

最後一步：雖然我們不知道最優策略是什麼，但是最優策略一定是k枚硬幣\(a_1,a_2…a_k\)加起來等於27，所以一定有一枚最後的硬幣\(a_k\)，除掉這枚硬幣，前面硬幣的面值相加起來是\(27-a_k\)

轉化為子問題：所以就將原問題轉化為了子問題如下

原問題是最少用多少枚硬幣拼出27（k枚）

子問題是最少用多少枚硬幣拼出\(27-a_k\)（k-1枚）

經過這兩歩，得出狀態：f[x]=最少用多少枚硬幣拼出x

轉移方程

\[f\lbrack x\rbrack=min\

\]\(f\lbrack x\rbrack\)指最少用多少枚硬幣拼出x，由於最後一步\(a_k\)有三種情況，最後一枚硬幣可能是2,5,7中的一種，所以轉移方程應該是取三種情況中能夠拼出x使用硬幣最少的那種情況

此時，可以用遞迴進行解題

public int f(int x)
}

遞迴是從上到下進行計算的，這樣的話會產生大量的重複運算，解決方法是採用動態規劃，將計算結果儲存下來，改變計算順序

初始條件和邊界情況

邊界條件x-2，x-5，x-7小於0時，應該進行處理，這種情況其實就是拼不出來的情況，定義為正無窮

初始條件一般就是根據轉移方程計算不出來的值，從轉移方程變數為0或1來選，根據題目進行分析，這個題目的初始條件就是\(f\lbrack 0\rbrack=1\)，代入公式的話應該f[0]為正無窮，顯然錯誤，所以自己定義\(f\lbrack 0\rbrack=1\)

計算順序，從小到大進行進行

\[f\lbrack x\rbrack=最少用多少枚硬幣拼出x

\]\[f\lbrack x\rbrack=\infty 表示無法用硬幣拼出x

public int coinchange(int a,int m)}}
if(f[m]==integer.max_value)
return -1;
else
return f[m];
}

題目：給定m行n列的網格，有乙個機械人從左上角（0,0）出發，每一步可以向下或者向右走一步，問有多少種不同的方式走到右下角。

確定狀態

最後一步：聚焦機械人最後挪動的一歩，右下角座標為（m-1，n-1），那麼前一步機械人一定在（m-2，n-1）或者（m-1，n-2）

子問題：可得，機械人走到（m-1，n-1）的方式等於機械人走到（m-2，n-1）加上機械人走到（m-1，n-2）

原問題是有多少種方式從左上角走到（m-1，n-1）

子問題是有多少種方式從左上角走到（m-2，n-1）和（m-1，n-2）

經過這兩歩，得出狀態：\(f\lbrack i\rbrack\lbrack j\rbrack\)為機械人有多少種方式從左上角走到（i，j）

轉移方程

\[f\lbrack i\rbrack\lbrack j\rbrack=f\lbrack i-1\rbrack\lbrack j\rbrack+f\lbrack i\rbrack\lbrack j-1\rbrack

\]初始條件和邊界情況

邊界條件：i=0或者j=0時前一步只能從乙個方向過來，所以f[i][j]=1

初始條件：f[0][0]=1，機械人只有一種方式到左上角

從上到下，從左到右

public class solution 
\]\(f\lbrack j\rbrack\)表示青蛙能不能跳到j位置，若在所有小於j的位置i中，至少有乙個位置能到j，則j是可以到達的
初始條件和邊界情況
邊界條件：列舉的i和j都不會越界，所以沒有邊界條件
初始條件:f[0]=true，因為青蛙一開始就在石頭0上
計算順序
從左到右計算
public class solution }}
return f[a.length-1];
}}

給你一根長度為n的繩子，請把繩子剪成整數長度的m段（m、n都是整數，n>1並且m>1），每段繩子的長度記為k[0],k[1]...k[m-1]。請問k[0]*k[1]*...*k[m-1]可能的最大乘積是多少？例如，當繩子的長度是8時，我們把它剪成長度分別為2、3、3的三段，此時得到的最大乘積是18。

確定狀態

最後一步：假設繩子剪得最後一下的長度為j，只需要滿足j子問題：相當於從1開始遍歷j，找出 j*（i-j部分的乘積最大值）的最大值

原問題是長度為i的乘積最大值

子問題是長度為i-j的乘積最大值

轉移方程

\[f\lbrack i\rbrack=max_

\]初始條件和邊界情況

f[0]=nums[0]

計算順序

從f[1]開始計算

class solution 
return res;
}}

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