遞迴是最簡單也是最直接的思路，分解小問題，然後得到最終問題的答案。但是遞迴**簡單，但是比較耗時。所以我們思路可以用遞迴， 但是出於**效能考慮，還是要提公升效率。這當然是後期的優化了。
動態規劃，回溯都是比較常用也比較常見的演算法。這篇來講動態規劃。
動態規劃的核心：問題的最優解可以由子問題的最優解得到，那麼我們就可以出這些子問題的最優解，然後構造出最終解。如果在拆分時，乙個子問題重複出現，也就是說需要重複求解乙個問題幾次。那麼，就採用自底而上的思路。先求小解，儲存，在大問題用到此解時直接呼叫即可，省去了重複求解的時間。舉個常見的例子吧，歸併排序就是動態規劃的一種，最後的排序依賴於每乙個歸併時的有序，所以子問題的最優解就是每兩個歸併時都要有序，將所有的都歸併完成後自然就是乙個排序好的陣列。
從上述粗字可以推出，動態規劃的使用情景就是可以拆分為相關子問題。所以在使用動態規劃時要先分析問題的最優解是否跟子問題的最優解有關。
這裡面有兩種思路：自頂向下和自底向上，也就是從大問題到小問題和從小問題到大問題，是不是有點暈，不是子問題嗎？舉個例子就知道了。
有2、3、5三種錢幣，要湊成20，。我們將結果表示為f(20)，f(20)有三種情況：f(20)=f(18)+1；f(20)=f(17)+1；f(20)=f(15)+1；也就是18的幣數+一張2,17的加3,15的加5。這樣繼續分解，這其實就是遞迴的子問題，但這樣有個不足就是，會有子問題的重複計算，18的幣數可能是15的幣數+一張3,17的可能是15的幣數+一張2，由於遞迴時兩個單獨計算，也就是說15的最少幣數情況只有乙個解，但是求了兩次。這種叫自頂而下。但是我們反過來，先求f(1)，到15，然後記錄下來，那麼之後再有關15的幣數時直接使用即可，無需再求。這就是自底而上的好處。二者其實無本質區別，只是在子問題有重疊時，自底而上會減少計算從而提公升效率。
dp的使用邏輯，也就是**組織思路：
這裡面子問題最優解容易理解，但是構造最優路線是什麼意思。專業點來說其實叫狀態轉移方程。從乙個狀態到另乙個狀態需要乙個選擇或轉換，那麼這個規則就是能得到最優解的關鍵，也就是子問題怎麼樣一步步走向最終問題。
我們還是以上面問題舉例。15的幣數怎麼走向20，也就是從15的狀態走向20的最終狀態，應該怎麼轉換。
實戰一下：
題目：有2、3、5三種貨幣，湊夠20的最少貨幣數是多少？
思路：最後是要f(20),按照上面分析的，我們從f(1)開始求。然後求出每個貨幣數的最少張數，到20就是20的幣數了。
因此我們需要乙個20的陣列來儲存結果。便於分析，我們dp[21],我們先用2來統計張數。
我們維持乙個21的陣列，動態的更新陣列，當新的狀態比舊的狀態小時，就替換原位置狀態。因為要更新為最少，所以我們開始以乙個不可能的大值初始化陣列，這樣就可以進行比較，這裡我以最大數初始化陣列，0處置0，因為其實0只有一種情況，0.
主要分析的是狀態轉移方程。我們先分析子問題，怎麼用2更新陣列。因為2一張就加2，所以我們在比較時，就是前兩個位置的張數+1張和當前位置比較，若是小於當前位置，說明此事的狀態更好，更新。從2開始，0處+1和當前的無限大比較，小，所以2處更新為1，3處為1處+1和當前狀態，無限大。4處為2處+1和當前，更新為2。直至到了20.此時2的情況已經全部求出，我們現在加入3，還是之前的思路，每加一張3就會大3，所以需要和三個位置前的比較。3處為0處+1和當前，更新為1,4處為1處+1和當面，無限大，5處為2處+1和當前，更新為2.也就是一張3和一張2是當前5的最小幣數。然後更新到最後為7.6個3和乙個2，是最少幣數。
加入5，同樣的道理。
**如下：
#include
using
namespace std;
intmain()
if(dp[aim]
==int_max)
//不存在
else
return0;
}
直接實戰吧，劍指offer的禮物價值題很經典。
這是典型的動態規劃。因為每次都只能向右或向下走，所以這就是遞迴的方向。顯然，每個動態規劃問題都可以寫成這樣形式：f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i,j-1))+value(i,j);然後遞迴解下去即可。從之前的分析可以看出，這樣會有大量的重複計算，所以我們還是用迴圈從下而上的解決問題，為此，我們需要乙個輔助陣列來訪問結果。
**獻上：
int
valuesum
(vector
int>>
& gift)
}return dp[rows]
[cols]
;}
int
valuesum
(vector
int>>
& gift)
}return dp[cols-1]
;}
好了，今天就到這了。之後繼續寫。感興趣的可以繼續看之後的文章，會有動態規劃2,+貪心的講解。
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