今天聽課講容斥，提到錯排，突然發現錯排公式什麼的好像已經忘了233
努力地回憶了一下，算出前幾項，終於還原出了那個遞推式↓
f(n)=(n-1)*(f(n-1)+f(n-2))
根據人贏的教導，只要思（yi）考（yin）下錯排的構造就能記住了
然後就認（meng）認（you）真（yi）真（yang）地思（yi）考（yin）了下
用自己的理解把這玩意兒整理了一下↓
先加一點平時我們說的錯排通常是指1~n的排列a，滿足a(i)≠i，
其實腦補一下，它也可以看成a，b兩個集合，|a|=|b|，對於每乙個ai，都對應唯一bi，不同ai對應bi不同，現在強行改變對應方式，仍然是一對一，但是每乙個ai對應的bi都不再是之前那個bi，問方案數。
假設要構造f(n),
首先，必須滿足a(n)≠n，則第n位只能取1~n-1，且第n位取1~n-1的任何乙個數都是等價的
令g(n)為前n位排好的方案數.
那麼f(n)=g(n-1)*(n-1)，
因為此時前n-1位數字不是1~n-1，而是1~n中除去任意乙個x(x∈[1,n-1])的方案數,所以顯然g(n-1)≠f(n-1)
對於每乙個k(k屬於[1,n-1])
存在前n-1位的構造根據第n個的擺放可以分成兩種情況：
1) n放在第k位，k放在第n位，剩下n-2的數滿足n-2的錯排，方案數為f(n-2)
2) n不放在第k位，那麼剩下n-1的數滿足n-1的錯排，方案數為f(n-1)
要滿足兩種情況不重複，就必須滿足1~n-1的任意一種錯排方案的前n-2個數的排列一定不等於任意一種1~n-2的錯排方案
(很繞的一句話，不過顯然是對的，因為假設存在相等，那麼第n-1位只能放n-1，不滿足錯排)
所以g(n-1)=f(n-1)+f(n-2)
f(n)=(f(n-1)+f(n-2))*(n-1)
所以就證好了
其中初值還是很容易確定的，因為肯定要結合實際意義的嘛
f(0)=1 不放
f(1)=0 只有乙個數，乙個位置，顯然不成立
錯排公式的原型長這樣→f(n)=n![1/0!-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!+...+(-1)^n/n!]，可以通過容斥，遞推式各種方法求，這裡就不證了ww
【寫的有漏洞的，歡迎路過大神吐槽】
2016-08-06 16:48:00
ending.
錯排的遞推公式及推導
嘻嘻 剛用電腦的photoshop做出來 f n n 1 f n 2 f n 1 顏書先生 裝錯信封問題 的數學模型與求解 一文 見 數學通報 2000 年第 6 期 p.35 給出了該經典問題的乙個模型和求解公式 編號為 1 2 n 的 n 個元素排成一列，若每個元素所處位置的序號都與它的編號不同...
錯排的遞推公式及推導
錯排遞推公式 f n n 1 f n 2 f n 1 顏書先生 裝錯信封問題 的數學模型與求解 一文 見 數學通報 2000 年第 6 期 p.35 給出了該經典問題的乙個模型和求解公式 編號為 1 2 n 的 n 個元素排成一列，若每個元素所處位置的序號都與它的編號不同，則稱這個排列為 n 個不同...
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f n n 1 f n 2 f n 1 顏書先生 裝錯信封問題 的數學模型與求解 一文 見 數學通報 2000 年第 6 期 p.35 給出了該經典問題的乙個模型和求解公式 編號為 1 2 n 的 n 個元素排成一列，若每個元素所處位置的序號都與它的編號不同，則稱這個排列為 n 個不同元素的乙個錯排...