這個問題推廣一下，就是錯排問題，是組合數學中的問題之一。考慮乙個有n個元素的排列，若乙個排列中所有的元素都不在自己原來的位置上，那麼這樣的排列就稱為原排列的乙個錯排。 n個元素的錯排數記為d(n)。 研究乙個排列錯排個數的問題，叫做錯排問題或稱為更列問題。
錯排問題最早被尼古拉·伯努利和尤拉研究，因此歷史上也稱為伯努利-尤拉的裝錯信封的問題。這個問題有許多具體的版本，如在寫信時將n封信裝到n個不同的信封裡，有多少種全部裝錯信封的情況？又比如四人各寫一張賀年卡互相贈送，有多少種贈送方法？自己寫的賀年卡不能送給自己，所以也是典型的錯排問題。
當n個編號元素放在n個編號位置，元素編號與位置編號各不對應的方法數用d(n)表示，那麼d(n-1)就表示n-1個編號元素放在n-1個編號位置，各不對應的方法數，其它類推.
第一步，把第n個元素放在乙個位置，比如位置k，一共有n-1種方法；
第二步，放編號為k的元素，這時有兩種情況：⑴把它放到位置n，那麼，對於剩下的n-1個元素，由於第k個元素放到了位置n，剩下n-2個元素就有d(n-2)種方法；⑵第k個元素不把它放到位置n，這時，對於這n-1個元素，有d(n-1)種方法；
綜上得到
d(n) = (n-1) [d(n-2) + d(n-1)]
特殊地，d(1) = 0, d(2) = 1.
下面通過這個遞推關係推導
通項公式：
為方便起見，設d(k) = k! n(k), k = 1, 2, …, n,
則n(1) = 0, n(2) = 1/2.
n ≥ 3時，n! n(n) = (n-1) (n-1)! n(n-1) + (n-1)! n(n-2)
即 nn(n) = (n-1) n(n-1) + n(n-2)
於是有n(n) - n(n-1) = - [n(n-1) - n(n-2)] / n = (-1/n) [-1/(n-1)] [-1/(n-2)]…(-1/3) [n(2) - n(1)] = (-1)^n / n!.
因此n(n-1) - n(n-2) = (-1)^(n-1) / (n-1)!,
n(2) - n(1) = (-1)^2 / 2!.
相加，可得
n(n) = (-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1) / (n-1)! + (-1)^n/n!
因此d(n) = n! [(-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1)/(n-1)! + (-1)^n/n!].
此即錯排公式。
數論 錯排公式
1.定義 乙個有n個元素的排列，若乙個排列中所有的元素都不在自己原來的位置上，那麼這樣的排列就稱為原排列的乙個錯排。n個元素的錯排數記為d n 2.推導 遞推 首先將第乙個元素錯排，假設將第乙個元素放到第k位，那麼對於第k位的元素，有兩種情況 1.k放在第1位，此時相當於對處第1位與第k位的n 2個...
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