線性代數新感悟（一）

例如：2 × 2方程組：2x – y = 0 和 -x + 2y = 3

從橫向看：代表在平面xy座標系中兩條直線的交點情況。

從縱向看：x(2，-1)t + y(-1，2)t = (0，3)t ，x和y為兩個向量的未知係數，可以看作是等號左邊兩個向量進行線性組合得到等號右邊向量。只有右邊的向量落在左邊向量組成的空間之內，方程組才有解。

方程組，一方面對應空間幾何意義，一方面又有向量的線性組合關係，此之謂線性代數。

如上圖所示，對乙個矩陣a右乘乙個列向量，相當於對矩陣a的列向量進行線性組合求得乙個列向量。對矩陣a左乘乙個行向量，相當於對矩陣a的行向量進行線性組合求得乙個行向量。

由上述結論推理，若是對矩陣a右乘（左乘）多個列（行）向量，得到的多個列（行）向量又可以組成乙個矩陣，這就是矩陣的乘法ab = c，例如：

當然，除此之外，矩陣的乘法運算有其計算公式。並且多個矩陣的乘法運算例如：(ab)c = a(bc)，括號的位置可以改變，但是矩陣之間相對的前後順序是不可以改變的。

n維向量空間rn，必須包含零向零即原點，並且在空間內可以做各種向量運算，如數乘，線性組合等等。

rn最大的子空間是其本身，最小的子空間為零向量即原點。在最大和最小之間的子空間是過原點的維數逐漸加大的各空間。

ax = 0以及ax = b的解集分別為a的零（子）空間和列向量（子）空間。線性代數中4個基本的子空間為：1. 列向量空間，2. 零空間， 3. 行空間（其解法可以通過將矩陣a進行轉置之後進行列處理得到）， 4. a轉之後的零空間（左0空間）

a) r(a) < r(a, b)時，無解

b) r(a) = r(a, b)時，有解

c) r(a) = r(a, b) = n時，有唯一解；r(a) = r(a, b) < n時，有無窮解。

d) 對於矩陣a，若n > m ，要麼無窮解，要麼無解。若n < m，沒啥特殊的，按上述abc分析就可。