noip2005 過河解題報告

過河解題報告

【問題描述】

在河上有一座獨木橋，乙隻青蛙想沿著獨木橋從河的一側跳到另一側。在橋上有一些石子，青蛙很討厭踩在這些石子上。由於橋的長度和青蛙一次跳過的距離都是正整數，我們可以把獨木橋上青蛙可能到達的點看成數軸上的一串整點：0，1，……，l（其中l是橋的長度）。座標為0的點表示橋的起點，座標為l的點表示橋的終點。青蛙從橋的起點開始，不停的向終點方向跳躍。一次跳躍的距離是s到t之間的任意正整數（包括s,t）。當青蛙跳到或跳過座標為l的點時，就算青蛙已經跳出了獨木橋。

題目給出獨木橋的長度l，青蛙跳躍的距離範圍s,t，橋上石子的位置。你的任務是確定青蛙要想過河，最少需要踩到的石子數。其中l<=10^9，石子數m<=1000,1<=s<=t<=10;

【分析】

這道題直接搜尋顯然是不可行的，必然tle，考慮動態規劃：

opt[n]:=min(s<=i<=t) //rock[n]表示當前位置有沒有石子。

時間複雜度是o（n），對於小於等於10^9的l顯然是不可行的，於是我們可以嘗試進行優化。如此大的長度，而石子數卻只有1000，說明中間必然有很大的空白，可以將其壓縮。

我們先看乙個方程。px+（p+1)y=q（採用跳躍距離p和p+1時跳至位置q）因為p和p+1相隔1，所以當q>=p(p-1)時該方程必然有整數解（可以用同餘的思想證明：p mod （p+1）=-1；設q mod （p+1）=-k (k>0) ,則當x=k時，（p+1)y=q-px，mod （p+1）必然為0，此時y為非負整數。命題得證）。這就意味著如果跳躍距離如果不小於s（s-1），且s不等於t，那麼必然可以跳到，這樣便可以實現壓縮，以石子為狀態動態規劃。

好了，切入正題，說怎麼做吧。我們用b[i]為能否用s到t的一次跳躍距離跳至i遠的標誌（當s<=i<=th或i=0時為真)，c[v]為青蛙能否跳到相對距離為v遠的標誌（v≤90）。

則當v<0時，c[v]:=0;

當v>=s(s-1)時，c[v]:=true;

當1<=s<=s(s-1)時，c[v]:=b[v];

(s=t時需特殊處理）

a[i,j]為青蛙跳至x[i]左方相對距離為j的位置時所經過的最少石子總數。若j=0，說明青蛙踩到了橋上的第i個石子。初始時，a[i,j]=n+1（0≤i≤n，0≤j≤t-1）。第1種情況：x[i]-j位置位於x[i-1]的左方，即x[i]-j≤x[i-1]顯然，跳至x[i]-j位置經過的最少石子總數為a[i-1,j-x[i]+x[i-1]]。第2種情況：x[i]-j位置位於x[i-1]的右方，即x[i]-j>x[i-1]。顯然，如果青蛙能夠由x[i-1]-v位置跳至x[i]-j位置（can(x[i]-j-x[i-1]+v)=true），則跳至x[i]-j位置經過的石子總數為a[i-1,v]或者為a[i-1,v]+1（j=0時，即踩到了橋上的第i個石子）。但究竟v多大時，才能使得最少石子數最少呢，我們無法預知，只能在0‥t-1的範圍內一一枚舉v，從中找出經過的最少石子數。最後，我們列舉青蛙跳出獨木橋前的最後乙個起跳位置x[n]-i(0≤i≤t-1），從中計算出青蛙過河最少需要踩到的石子數。

至於s=t的情況是不能用這種方法處理的，因此要特殊處理，模擬一遍就可以了。

【**】

view code

1
var i,j,n,m,k,l,v:longint;
2     x:array[0..100]of longint;
3     a:array[0..100,0..100]of longint;
4     b:array[0..100]of boolean;
5     s,t,len:longint;
6function can(x:longint):boolean;
7begin
8if x<0
then exit(false);
9if x>=s*(s-1) then exit(true) else exit(b[x]);
10end;
11begin
12   assign(input,'
river.in
');reset(input);
13   assign(output,'
river.out
');rewrite(output);
14   readln(len);readln(s,t,n);
15for i:=1
to n do read(x[i]);
16for i:=1
to n do
17for j:=i+1
to n do
18if x[i]>x[j] then
19begin
20      k:=x[i];x[i]:=x[j];x[j]:=k;
21end;
22while x[n]>len do dec(n);
23   x[0]:=0;
24   fillchar(b,sizeof(b),false);
25   b[0]:=true;
26for i:=s to
90do
27for j:=s to t do
28     b[i]:=b[i]or b[i-j];
2930
if s=t then
31begin
32    k:=0;
33for i:=1
to n do
34if x[i]mod s=0
then inc(k);
35    write(k);
36    close(input);close(output);
37    halt;
38end;
3940   fillchar(a,sizeof(a),63);
41   a[0,0]:=0;
42for i:=1
to n do
43for j:=0
to t-1
do44
begin
45if x[i]-j<=x[i-1] then
46begin
47if a[i,j]>a[i-1,j-(x[i]-x[i-1])] then
48       a[i,j]:=a[i-1,j-(x[i]-x[i-1])];
49end
else
50begin
51for v:=0
to t-1
do52
if (can(x[i]-j-x[i-1]+v))and(a[i,j]>a[i-1,v]) then
53        a[i,j]:=a[i-1,v];
54if j=0
then inc(a[i,j]);
55end;
56end;
57   k:=maxlongint;
58for i:=0
to t-1
doif a[n,i]then k:=a[n,i];
59   writeln(k);
60   close(input);close(output);
61end.

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