前兩天看到 ei 的部落格裡面有這個，於是去翻了一下**
一些定義：
齊次線性微分方程
如果乙個函式 \(y(x)\) 滿足：
\[a_0y+a_1y'+a_2y''+\cdots+a_ny^=c(x)
\]則稱其滿足乙個線性微分方程。特別地，如果 \(c(x)=0\)，則稱其滿足乙個齊次線性微分方程（linear homogeneous differential equation）。
根據所有的係數 \(\\) 是否為常數還可以進一步劃分為常係數齊次線性微分方程和變係數齊次線性微分方程。
p-遞迴數列
如果乙個數列 \(a_n\) 滿足
\(p_0(n)a_n+p_1(n)a_+p_2(n)a_+\cdots+p_d(n)a_=0\)
則稱其為 p-遞迴（p-recursive）的。其中所有的 \(p_i(x)\) 均為多項式。
微分有限
如果乙個函式 \(f(x)\)（不一定是多項式）滿足乙個齊次線性微分方程，則稱其為微分有限（d-finite）的。
關於微分有限函式我們有下述定理：
定理一記函式 \(f(x)\) 的級數展開為 \(f(x)=\sum_a_nx^n\)，那麼 \(f(x)\) 是微分有限的當且僅當其係數 \(\\) 是 p-遞迴的。
定理二如果 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 都是微分有限的，那麼 \(\alpha f(x)+\beta g(x),f(x)g(x)\) 也是微分有限的。
定理三如果 \(f(x)\) 微分有限，\(g(x)\) 是代數函式（即只包含加減乘除乘方開方的函式），那麼 \(f(g(x))\) 是微分有限的。
以及一些簡單的例子：
冪函式都是微分有限的：
\[y=x^r\rightarrow ry-xy'=0
\]指數函式是微分有限的：
\[y=a^x\rightarrow y\ln a-y'=0
\]廣義超幾何函式是微分有限的：
不會證，告辭。
以及在資訊學競賽中的應用：所有化簡為多項式的函式都可以使用整式遞推的方式快速求出某一項的係數。同時可以彰顯人類智慧型
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