有限元法也叫有限單元法（finite element method, fem），是隨著電子計算機的發展而迅速發展起來的一種彈性力學問題的數值求解方法。五十年代初，它首先應用於連續體力學領域—飛機結構靜、動態特性分析中，用以求得結構的變形、應力、固有頻率以及振型。由於這種方法的有效性，有限單元法的應用已從線性問題擴充套件到非線性問題，分析的物件從彈性材料擴充套件到塑性、粘彈性、粘塑性和複合材料，從連續體擴充套件到非連續體。
有限元法最初的思想是把乙個大的結構劃分為有限個稱為單元的小區域，在每乙個小區域裡，假定結構的變形和應力都是簡單的，小區域內的變形和應力都容易通過計算機求解出來，進而可以獲得整個結構的變形和應力。
事實上，當劃分的區域足夠小，每個區域內的變形和應力總是趨於簡單，計算的結果也就越接近真實情況。理論上可以證明，當單元數目足夠多時，有限單元解將收斂於問題的精確解，但是計算量相應增大。為此，實際工作中總是要在計算量和計算精度之間找到乙個平衡點。
有限元法中的相鄰的小區域通過邊界上的結點聯接起來，可以用乙個簡單的插值函式描述每個小區域內的變形和應力，求解過程只需要計算出結點處的應力或者變形，非結點處的應力或者變形是通過函式插值獲得的，換句話說，有限元法並不求解區域內任意一點的變形或者應力。
大多數有限元程式都是以結點位移作為基本變數，求出結點位移後再計算單元內的應力，這種方法稱為位移法。
有限元法本質上是一種微分方程的數值求解方法，認識到這一點以後，從70年代開始，有限元法的應用領域逐漸從固體力學領域擴充套件到其它需要求解微分方程的領域，如流體力學、傳熱學、電磁學、聲學等。
有限元法在工程中最主要的應用形式是結構的優化，如結構形狀的最優化，結構強度的分析，振動的分析等等。有限元法在超過五十年的發展歷史中，解決了大量的工程實際問題，創造了巨大的經濟效益。有限元法的出現，使得傳統的基於經驗的結構設計趨於理性，設計出的產品越來越精細，尤為突出的一點是，產品設計過程的樣機試製次數大為減少，產品的可靠性大為提高。壓力容器的結構應力分析和形狀優化，工具機切削過程中的振動分析及減振，汽車試製過程中的碰撞模擬，發動機設計過程中的減振降噪分析，**設計過程中爆轟過程的模擬、彈頭形狀的優化等等，都是目前有限元法在工程中典型的應用。
經過半個多世紀的發展和在工程實際中的應用，有限元法被證明是一種行之有效的工程問題的模擬**方法，解決了大量的工程實際問題，為工業技術的進步起到了巨大的推動作用。但是有限元法本身並不是一種萬能的分析、計算方法，並不適用於所有的工程問題。對於工程中遇到的實際問題，有限元法的使用取決於如下條件：產品實驗或製做樣機成本太高，實驗無法實現，而有限元計算能夠有效地模擬出實驗效果、達到實驗目的，計算成本也遠低於實驗成本時，有限元法才成為一種有效的選擇.
有限差分方法(fdm)是計算機數值模擬最早採用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將 求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。有限差分法以taylor級 數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函式值的差商代替進行離散，從而 建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。該方法是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。
對於有限差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風格式。考慮時間因子的影響，差分格式還可 以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式 的組合，不同的組合構成不同的差分格式。差分方法主要適用於有結構網格，網格的步長一般根據實際地形的情況和柯朗穩定條件來決定。
構造差分的方法有多種形式，目前主要採用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表示式主要有三種形式：一階向前差分、一階向後差分、一階中心差分和二階中心差分等， 其中前兩種格式為一階計算精度，後兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾 種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。
有限體積法（fvm）又稱為控制體積法。
其基本思路是：將計算區域劃分為一系列不重複的控制體積，並使每個網格點周圍有乙個控制體積；將待解的微分方程對每乙個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數是網格點上的因變數的數值。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網格點之間的變化規律，即假設值的分段的分布的分布剖面。
從積分區域的選取方法看來，有限體積法屬於加權剩餘法中的子區域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬於採用區域性近似的離散方法。簡言之，子區域法屬於有限體積發的基本方法。
有限體積法的基本思路易於理解，並能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義，就是因變數在有限大小的控制體積中的守恆原理，如同微分方程表示因變數在無限小的控制體積中的守恆原理一樣。有限體積法得出的離散方程，要求因變數的積分守恆對任意一組控制體積都得到滿足，對整個計算區域，自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優點。有一些離散方法，例如有限差分法，僅當網格極其細密時，離散方程才滿足積分守恆；而有限體積法即使在粗網格情況下，也顯示出準確的積分守恆。
就離散方法而言，有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定值在網格點之間的變化規律（既插值函式），並將其作為近似解。有限差分法只考慮網格點上的數值而不考慮值在網格點之間如何變化。有限體積法只尋求的結點值，這與有限差分法相類似；但有限體積法在尋求控制體積的積分時，必須假定值在網格點之間的分布，這又與有限單元法相類似。在有限體積法中，插值函式只用於計算控制體積的積分，得出離散方程之後，便可忘掉插值函式；如果需要的話，可以對微分方程中不同的項採取不同的插值函式。
有限元法，有限差分法和有限體積法的區別
原文 有限差分方法 fdm 是計算機數值模擬最早採用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將 求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。有限差分法以taylor級 數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函式值的差商代替進行離散，從而 建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。該方法是...
有限元法，有限差分法和有限體積法的區別
有限差分方法 fdm 是計算機數值模擬最早採用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。有限差分法以taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函式值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。該方法是一種直接將微...
python劃分有限元網格 關於有限元網格劃分
首先,研究和分析有限元網格劃分的基本原則 其次,對當前典型網格劃分方法進行科學地分類,結合例項,系統地分析各種網格劃分方法的機理 特點及其適用範圍,如對映法 基於柵格法 節點連元法 拓撲分解法 幾何分解法和掃瞄法等 再次,闡述當前網格劃分的研究熱點,綜述六面體網格和曲面網格劃分技術 最後,展望有限元...