最小點覆蓋最大匹配證明

1.最大匹配裡的邊，每一條邊都需要使用頂點覆蓋，也就是說最小點覆蓋大於等於最大匹配數

2.我們任取乙個最大匹配，將在最大匹配內的點染成藍色，不在最大匹配內的點染成黑色

顯然，不可能有邊的兩個端點都是黑色，也就是說每條邊都至少有乙個藍色點.

我們只需選擇藍色點即可，考慮在每條匹配邊中只選乙個藍點。

選擇藍點的方法如下:

如果存在乙個端點與黑色點直接相連，那麼我們選擇這個藍色點，否則隨便選擇乙個點即可，這樣我們就構造了一種大小為最大匹配的最小點覆蓋。

注意如果存在下面的情況，則我們需要在１－－２這條邊中同時選擇兩個藍色點來蓋住黑色點。但下面這種情況是不存在的。

1--2是匹配邊，1，2點均是藍色

3，4都是未匹配點，1-4，2-3是未匹配邊

因為如果是這樣的話，就會存在增廣路。

綜上：最小點覆蓋=最大匹配

以上構造方式是錯誤的,某老師的課件上出了錯。如下例中，選出1，2，c三個點來進行覆蓋，發現2--b這條邊蓋不住。

首先,因為最大匹配是原二分圖邊集的乙個子集，並且所有邊都不相交。

所以至少要從每條匹配邊中選出乙個端點，於是最小點覆蓋包含的點數不可能小於最大匹配包含的邊數。於是如果對任意二分圖構造一組點覆蓋，其包含的點數等於最大匹配，即可證明

備註：匹配點：匹配邊所連線的點

非匹配點：沒有被匹配邊連線的點

構造方法如下:

1:求出最大匹配

2:從左部每個非匹配點出發，再執行一次dfs找增廣路的過程(一定會失敗，也就是說走出一條長度為偶數，且非匹配邊與匹配邊交錯的路徑）,標記所有訪問過的節點。下例中紅色為匹配邊，從未匹配點4出發，走出如下路徑(4---c---3---b---2)

3：取左部沒有打上標記的點，右邊打上標記的點，得到最小點覆蓋。下例中取出左部的1號點，右部的c，b兩個點。

證明其正確性，經過上述構造方法

1:左邊的非匹配點一定都被標記，因為它們是出發點。

2:右邊非匹配點一定沒有被標記,否則找到增廣路

3:匹配邊所連線的匹配點要麼都被標記，要麼都沒有被標記,因為在在找增廣路的過程中,左部匹配點只能通過右部到達(例如上例中c--3這條匹配邊，兩個點都被標記，a--1這條匹配邊，兩個點都沒有被標記）

在構造中，我們取左部沒有被標記的點，右邊被標記的點，根據上面討論可知，正好是每條匹配邊取了乙個點，於是選出來的點數等於最大匹配的邊數。（例如上例中4--c--3--b--2,我們選擇了c,b這兩個點，其對應著c-3這條匹配邊，我們選了乙個c點。

對於b-2 這條匹配邊，我們選了b點.

還有一條匹配邊a-1.這兩個點都沒有在我們所找的增廣路徑上。於是任意選乙個點就好了。

於是每條匹配邊，選乙個點出來即可

於是最小點覆蓋=最大匹配.

再來討論這種取法是否覆蓋了所有的邊

1:匹配邊一定被覆蓋，因為正好有乙個端點被取走

2:不存在連線兩個非匹配點的邊，否則就有長度為1的增廣路

3:連線左部非匹配點i,右邊匹配點j的邊，因為i是出發點，所以j一定被訪問，而我們取了右部所有被標記的點，所以這樣的邊被覆蓋

4：連線左部匹配點i,右邊非匹配點j的邊,,這樣的i一定沒有被訪問，否則再走到j就找到增廣路。而我們取了左邊所有未被標記的點，於是這樣的邊也被覆蓋。

最小點覆蓋 最大匹配證明