könig定理是乙個二分圖中很重要的定理，它的意思是，乙個二分圖中的最大匹配數等於這個圖中的最小點覆蓋數。如果你還不知道什麼是最小點覆蓋，我也在這裡說一下：假如選了乙個點就相當於覆蓋了以它為端點的所有邊，你需要選擇最少的點來覆蓋所有的邊。
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匈牙利演算法需要我們從右邊的某個沒有匹配的點，走出一條使得「一條沒被匹配、一條已經匹配過，再下一條又沒匹配這樣交替地出現」的路（交錯軌，增廣路）。但是，現在我們已經找到了最大匹配，已經不存在這樣的路了。換句話說，我們能尋找到很多可能的增廣路，但最後都以找不到「終點是還沒有匹配過的點」而失敗。我們給所有這樣的點打上記號：從右邊的所有沒有匹配過的點出發，按照增廣路的「交替出現」的要求可以走到的所有點（最後走出的路徑是很多條不完整的增廣路）。那麼這些點組成了最小覆蓋點集：右邊所有沒有打上記號的點，加上左邊已經有記號的點。看圖，右圖中展示了兩條這樣的路徑，標記了一共6個點（用 「√」表示）。那麼，用紅色圈起來的三個點就是我們的最小覆蓋點集。
首先，為什麼這樣得到的點集點的個數恰好有m個呢？答案很簡單，因為每個點都是某個匹配邊的其中乙個端點。如果右邊的哪個點是沒有匹配過的，那麼它早就當成起點被標記了；如果左邊的哪個點是沒有匹配過的，那就走不到它那裡去（否則就找到了一條完整的增廣路）。而乙個匹配邊又不可能左端點是標記了的，同時右端點是沒標記的（不然的話右邊的點就可以經過這條邊到達了）。因此，最後我們圈起來的點與匹配邊一一對應。
其次，為什麼這樣得到的點集可以覆蓋所有的邊呢？答案同樣簡單。不可能存在某一條邊，它的左端點是沒有標記的，而右端點是有標記的。原因如下：如果這條邊不屬於我們的匹配邊，那麼左端點就可以通過這條邊到達（從而得到標記）；如果這條邊屬於我們的匹配邊，那麼右端點不可能是一條路徑的起點，於是它的標記只能是從這條邊的左端點過來的（想想匹配的定義），左端點就應該有標記。
最後，為什麼這是最小的點覆蓋集呢？這當然是最小的，不可能有比m還小的點覆蓋集了，因為要覆蓋這m條匹配邊至少就需要m個點（再次回到匹配的定義）。
最小點覆蓋
題目連線 最小點覆蓋為 在乙個二分圖中，選取最少的點可以把所有的變覆蓋，點的最少個數就是最小點覆蓋。最小點覆蓋 最大二分匹配。克魯斯卡爾演算法。關於本題 把從零開始，轉化成從一開始。起點不用加入e，因為機器的起始狀態就是1，或者加入e但是不參加計算，我採用的是第二種。include include ...
K nig定理及證明
k nig定理的內容是，乙個二分圖中的最大匹配數等於這個圖中的最小點覆蓋數。看過matrix67大牛的證明 後感覺證的很累贅，於是自己寫乙個。與最大匹配相關的東西可以在這裡看到。假如已知最大匹配m，由最大匹配的定義可知，二分圖k中的兩個集合a,b中已經取出了最多個匹配點，即取出了最多個不共用乙個點的...
Asteroids 最小點覆蓋問題
bes si ebessie bessie 想以n nn n nn網格 1 n 500 1 n 500 1 n 5 00 的形狀在危險的小行星場中導航她的飛船。網格包含k kk個小行星 1 k 10 000 1 k 10,000 1 k 1 0,00 0 它們方便地位於網格的晶格點處。幸運的是，貝茜...