數值積分部分考點總結
梯形公式，中矩形公式，辛甫生公式應當熟練掌握p59
機械求積法（求積結點和求積係數（節點的權））
代數精度的定義（會計算給定求積公式的代數精度）
在求積節點給定的情況下，求積公式的構造本質上是個線性方程組的代數問題
插值型求積公式
定理1：形如
p59（
4）的求積公式至少具有
n次代數精度的充分必要條件是，它是插值型的。所以一旦求積結點
xk已被給出，那麼，求積係數
ak的確定有兩條可供選擇的途徑：
a.求解線性方程組
b.計算積分（
n階的牛頓
-科特斯公式至少有
n次代數精度）
注：n為偶數有
n+1次代數精度，
n為奇數有
n次代數精度
牛頓-科特斯公式：
ck：科特斯係數。高階公式由於穩定性差而不宜採用，有實用價值的僅僅是幾種低階的求積公式。
幾種低階求積公式的餘項
復化積分法：復化積分公式和復化辛甫生公式需要掌握
梯形法的遞推化：演算法簡單，但精度較低，收斂速度緩慢，如何提高收斂速度以節省計算量
事後估計法
龍貝格公式的加速是極其顯著的
適當地選擇求積節點xk，可以使求積公式具有
2n-1
次代數精度。這種高精度的求積公式稱高斯公式。高斯公式的求積節點
xk稱為高斯點。
一點高斯公式
兩點高斯公式
以高斯點為零點的n次多項式
w(x)
與一切次數小於等於
n-1次的多項式
p(x)
正交。其逆命題也成立：若
w(x)
與任意n-1
次多項式正交，則其零點必為高斯點。
定理2 節點
xk是高斯點的充分必要條件是
w(x)
與一切次數小於等於
n-1的多項式
p(x)
正交，即成立。
勒讓德多項式：以高斯點xk為零點的n次式
三次高斯公式背
題型：檢驗求積公式代數精度（帶入直接計算即可）
構造求積公式（兩種方法）a.帶入解方程
b求積分
判斷求積公式是不是插值型的並求積分
構造插值型求積公式（只能用積分的方法）（注意利用求積公式內在的對稱性減少運算）
可能會使用區間變換的方法進行求解（p84題5）
利用三點高斯公式進行精度驗證和求積公式設計
計算加工後的鬆弛公式p91（帶特殊點進行計算）
數值分析實驗二 數值積分
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