算術基本定理解析及其應用

本文主要講述了算術基本定理的內容，具體的應用形式，重點結合例題展示如何使用算術基本定理求解問題。

算術基本定理

算術基本定理可表述為：任何乙個大於1的自然數 n,如果n不為質數，那麼n可以唯一分解成有限個質數的乘積n=p1a1p2a2p3a3......pnan，這裡p1

算術基本定理是初等數論中一條非常基本和重要的定理，它把對自然數的研究轉化為對其最基本的元素——素數的研究。唯一因子分解的思想從本質上講是指以下兩種性質：「存在性和唯一性」。所謂「存在性」就是指乙個元素可以分解為有限多個不可約因子的乘積；「唯一性」是指這種分解表示在某種意義上來說是唯一的。

定理應用

演算法實現

1 typedef long
long
ll;2
const
int maxn  = 1e6 + 7
;3 ll a[maxn], b[maxn];//
a[i]表示第i個質因子，b[i]表示第i個質因子的指數
4void fac(ll n, int& tot) 16}
17}18if(now != 1) 
22 }

可以用如下**直接輸出2 到100的質因數分解結果

1 #include 2 #include 3 #include 4
using
namespace
std;
56 typedef long
long
ll;7
const
int maxn  = 1e6 + 7
;8 ll a[maxn], b[maxn];//
a[i]表示第i個質因子，b[i]表示第i個質因子的指數
9void fac(ll n, int& tot) 21}
22}23if(now != 1) 27}
2829
intmain()
3038}39
return0;
40 }

view code

例題解析

lightoj 1341 aladdin and the flying carpet

題意給出乙個長方形的面積a（不是正方形），給出該長方形最小的邊b，問組成該面積的長方形有多少種組合方案。比如12 2,有、兩種組合方案。

解題思路

問有多少種組合方案，其實就是面積a有多少對因子的乘積等於a，然後去掉最小邊不滿足條件的對兒數。普通暴力尋找因子對兒數的方法，肯定是要超時的。這裡使用唯一分解定理的第乙個應用，計算出總的因子數，然後除以2，再減去不符合條件的因子對數即可。需要注意的是每次不必全部試除一遍，不然會超時，這就是這種方法的時間優化之處。

1 #include 2 #include 3 #include 4 typedef long
long
ll;5
const ll maxn = 1e6 +7;6
bool
isp[maxn];
7int
pis[maxn], tot;89
void getp(ll n) 
16for(int j = 1; (j <= tot) && (i * pis[j] <= n); j++) 20}
21}22 ll fac(ll n) 
34             ans *= (cnt + 1
);35}36
}37if(now != 1
)38         ans *= 1 + 1;39
return
ans;40}
41ll solve(ll s, ll b) 
51return
ans;52}
53int
main()
5464
return0;
65 }

lightoj 1236 pairs forming lcm

題意給乙個n(1 ≤ n ≤ 1014)，問滿足lcm(i, j) = n (1 =< i, j <= n 且 i <= j)的(i, j)有多少對

解題思路

一看n的大小就知道暴力肯定是不行了，我們試著用算術基本定理求解一下，將n = p1^x1 * p2^x2 * p3^x3...ps^xs（其中s是唯一分解式中所有質因子的個數）

先假設n = p1^x1;

要使 lcm(i, j) = n，只有兩種方法：

（1）i = p1^x1,則 j = p1^m(m屬於[0, x1])，這樣(i, j)共有 (x1 + 1)種

（2）j = p1^x1,則 i = p1^n(n 屬於[0, x1])，這樣(i, j)共有 (x1 + 1)種

那麼當 n = p1^x1 時答案就是2 * （x1 + 1）對(i, j)，但是當m == n時這一對是計算重複的，所以需要 -1，則最終答案是2 * （x1 + 1） - 1 = 2 * x1 + 1；

推廣至n = p1^x1 * p2^x2 * p3^x3...ps^xs（其中s是唯一分解式中所有質因子的個數）可得總的方案數等於ans = (2 * x1 + 1) * (2 * x2 + 1) * (2 * x3 + 1) ...(2 * xs + 1);

題目中要求的是i <= j，所以需要將總的數目除以2，又由於當i 、j都等於n時只計算了一次，所以除以二之後需要再加上。故最終答案是 ans = ans/2 + 1;

**如下

1 #include 2 #include 3 #include 4 typedef long
long
ll;5
const ll maxn = 1e7 +7;6
bool
isp[maxn];
7int pis[maxn/10
], tot;89
void getp(ll n) 
16for(int j = 1; (j <= tot) && (i * pis[j] <= n); j++) 20}
21}22 ll fac(ll n) 
34             ans *= ( 2 * cnt + 1
);35}36
}37if(now != 1
)38         ans *= 2 * 1 + 1;39
40return
ans;41}
42ll solve(ll n) 
46int
main()
4757
return0;
58 }

lightoj harmonic number

題意給出n(1 ≤ n ≤ 108)計算出調和級數的結果

解題思路

雖然沒有直接的公式，但是尤拉曾給出過乙個近似公式計算調和級數的和，但是由於前幾項誤差較大，所以我們先計算前10000的結果，之後的使用公式計算。

1 #include 2 #include 3 #include 4
5const
int maxn = 100010;6
using
namespace
std;
7const
double c = 0.57721566490153286060651209;8
double
a[maxn];910
intmain()
1116
intt;
17int
n;18     scanf("
%d", &t);
19for(int t = 1; t <= t; t++) 
25else28}
29return0;
30 }

最後總結一下使用算術基本定理的心得，使用的時候注意分解，如何使用求得的正因子個數之和，以及所有正因子數之和，來計數。關鍵還是將問題轉換為數學模型。

算術基本定理解析及其應用

算術基本定理

算術基本定理

poset Dilworth定理及其應用

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