設有矩陣a，設矩陣的秩為r
四個子空間如下
我們已經很熟悉列空間了
我們可以很容易地找到列空間的乙個基
矩陣的所有主列就是乙個基向量
所以列空間的基有r個基向量，列空間的維數等於秩r
結論1：列空間維數等於秩
對於矩陣a，其行最簡形式r的前r行就是矩陣的行空間的乙個基
所以行空間的維數也為r
結論2：行空間維數等於秩
零空間的乙個基就是ax
=0的所有特殊解
而特殊解一共有n-r個，所以零空間的維數等於n-r
結論3：零空間維數等於列數減去秩假設a
t 的秩用r』表示 對a
t 使用結論1，c(
at) 維數為r』 對a
使用結論2，c(
at)維數為r
得到r = r』
於是得到
結論4：轉置矩陣的秩等於原矩陣的秩
由於a的左零空間等價於at
的零空間，而at
的零空間的維數等於m-r
得到結論5：左零空間的維數等於m-r
對於矩陣a，左零空間的每個向量都是方程at
y=0 的解
設矩陣a是m行n列，使用am
∗n表示，那麼
構造行最簡形式的過程這麼表示am
∗n→r
m∗n
構造這樣的矩陣[a
m∗ni
m∗m]
將a部分構造成行最簡形式的過程 [a
m∗ni
m∗m]
→[rm
∗nem
∗m]
em∗m
矩陣記錄了化簡過程中的所有步驟
因為行變換其實等價於左乘乙個矩陣，而這裡左乘的矩陣就是em
∗m e
m∗m∗
[am∗
nim∗
m]=[
rm∗n
em∗m
] 即我們得到em
∗m∗a
m∗n=
rm∗n
由於a的秩為r，所以r的底部有m-r個零行
而每個零行都是a矩陣的行的線性組合得到，而這m-r個線性組合的引數對應於e的底部m-r個行向量
所以，對於e底部的m-r個行向量，每乙個都是at
y=0 的解
並且由於e是由單位矩陣行變換而來，這m-r個行向量線性無關
於是這m-r個向量便構成了左零空間的乙個基
Lecture 10 四個基本子空間
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線性代數10 四個基本子空間
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