四個基本子空間：
列空間（column space）：\(c(a)\)
零空間（null space）：\(n(a)\)
行空間（row space）：\(c(a^t)\)
左零空間：\(n(a^t)\)
\(c(a^t)\)和\(n(a)\)在\(r^n\)中，\(c(a)\)和\(n(a^t)\)在\(r^m\)中
\(\dim c(a) = r\)，所有主元列構成一組基
\(\dim c(a^t) = r\)，一組基是最簡行階梯矩陣的前\(r\)行
\(\dim n(a) = n - r\)，一組基是\([-f, i]^t\)
\(\dim n(a^t) = m - r\)
注意：行變換不改變行空間，但是改變列空間。
求左零空間一組基的方法，根據\(ea = r\)得：
\[\begin
-1 & 2 & 0 \\
1 & -1 & 0 \\
-1 & 0 & 1
\end
\begin
1 & 2 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 1
\end
= \begin
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end
\]左零空間的一組基即為\(e\)的最後一行！
一種新的觀點：
定義一種新的向量空間\(m\)（矩陣空間）：所有的\(3 \times 3\)矩陣！
子空間：上三角矩陣、對稱陣、對角矩陣
對角矩陣所構成的子空間，維度是\(3\)。
可以找一組基：
\[\begin
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end
,\begin
1 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end
,\begin
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 7
\end
\]
線性代數10 四個基本子空間
這節課我們將研究四種基本子空間及其關係。假設有 m n 矩陣 a 四種基本子空間 1 列空間 c a 在 r m 空間，因為列向量是 m 維的 2 零空間 n a 在 r n 空間，因為她是 ax 0 的解，x 是 n 維向量 3 行空間 c a 矩陣 a 所有行的線性組合，將矩陣轉置，我們就能像以...
線性代數導論10 四個基本子空間
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08 矩陣的四個基本子空間
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