助教姐姐近來發燒在宿舍躺了兩天，現在終於滿血復活了！再來絮叨一下今天這個好玩的問題。
先來複述一下這兩個概念的含義。矩陣的秩，可以看做是這個矩陣代表的線性變換值域的維數。詳細來說，乙個n維的矩陣a代表了乙個n維的線性變換，這個線性變換a能把每乙個n維向量變換為乙個新的n維向量（當然這兩個向量可能是相等的）。而我們把所有n維向量經過這個線性變換a的所有像組成的集合稱為這個線性變換值域的維數。也就是說，乙個矩陣的秩越大，它的像空間的維數就越大。
而特徵值和特徵向量的概念大家就更加熟悉了。如果乙個線性變換作用在乙個向量上，只改變了它的長度不改變它的方向，那這個向量就是這個線性變換的特徵向量，而長度改變的比例就是特徵值。而特徵值的大小也有其意義，特徵值越大，說明矩陣在對應的特徵向量方向上的包含的資訊量就越多。在實際應用中，往往會對包含資訊量較小的方向來做降維處理。
所以我們可以看到，
矩陣特徵值（特徵向量）的個數和矩陣的秩並沒有什麼聯絡！
可能大家都不太願意接受這個事實，但實際上就是這個樣子的:d
如果放在jordan標準型的概念下來考慮就是這樣的：
代數重數：對應某乙個特徵值的jordan塊的階數之和
幾何重數：對應某乙個特徵值的jordan塊的個數
矩陣的秩：n減去0這個特徵值對應的jordan塊的個數
我們不僅可以由此看到幾何重數一定小於等於代數重數，也能看出所有線性無關的特徵向量的個數一定小於等於所有特徵值（含重數）的個數。
回到咱們今天的主題，為了讓大家更確信矩陣線性無關的特徵向量個數與矩陣的秩是無關的，我在下面舉了幾個例子，大於等於小於的情況都有。
轉眼就寫到熄燈了，大家晚安啦！
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