定義 1. 若向量組
則稱 為
的乙個極大無關組.
巖寶小提示：全由零向量構成的向量組是唯一沒有極大無關組的向量組.也就是說.凡含有非零向量的向量組必有極大無關組.
定理1. 乙個向量組若含有非零向量，則任二極大無關組所含的向量個數相等.
定義2. 設
是含有非零向量的乙個向量組，則其乙個極大無關組中所含向量個數稱為此向量組的秩.
巖寶小提示：全由零向量構成的向量組，規定其秩為0.我們對於任意向量組
它的秩記為
顯然定理2.
定義3.所謂矩陣的行秩就是指矩陣的行向量組的秩，矩陣的列秩就是矩陣的列向量組的秩.
定理3.矩陣的秩是r的充分必要條件為矩陣中有乙個r級子式不為0，同時所有r+1級子式全為0.
例1. 設向量組證明：1)設的秩為 r>0 .證明 :
（1）
中任意 r 個線性無關的向量都構成它的乙個極大無關組;
（2） 若
中每個向量都可由其中某r個向量線性表示，則這r個向量必為
的極大無關組.
是 中任意r個線性無關的向量.由於向量組的秩為r，故原向量組中任何多於r個向量的向量組必線性相關，所以
線性相關.從而
可由（1）線性表示.因此，（1）為原向量組的乙個極大無關組.
2)不妨設
中每個向量都可由
線性表示. 如果（2）線性相關，且不妨設
是（2）的乙個極大無關組，則顯然（3）便是
的乙個極大無關組. 這與
矛盾 , 故（2）必線性無關.
因此 ,（2）是
的乙個極大無關組.
例2.設有兩組向量證明：設組（1）的秩為r，組（2）的秩為s，並各取它們的乙個極大線性無關組：證明：1）如果組（1）可由組（2）線性表示，則組（1）的秩不超過組（2）的秩.
2）如果組（1）與組（2）等價，則組（1）與組（2）的秩相等.
1）如果組（1）可由組（2）線性表示，則（3）可由組（2）線性表示，從而（3）可由組（4）線性表示，從而可得
從而結論成立.
2)與（1）同樣，因組（2）可由組（1）線性表示，從而組（4）可由組（3）線性表示，所以
結合（1）可知 s=r ，所以組（1）與組（2）的秩相等.
例3. 證明：乙個向量組中的任何乙個線性無關組，都可以擴充成乙個極大無關組.證明：設
是向量組
的乙個線性無關部分組，而
是（2）的任一極大無關組，則（1）可由（3）線性表示，由替換定理知，（3）中存在s個向量（例如前s個）用（1）代替後可得
與（3）等價，從而（4）也是原向量組（2）的極大無關組，即線性無關組（1）可擴充為（2）的乙個極大無關組.
例4. 設向量組證明：因為向量組線性無關, 且可由向量組
線性表示.
證明: 這兩個向量等價,從而
也線性無關.
線性無關且可由向量組
線性表示, 故
從而必然有
因此，向量組
線性無關.
由此進一步可知，
是向量組
的乙個極大無關組.因此，向量組（1）的秩為 m.
但由於為（1）中的 m 個線性無關的向量，從而它也是（1）的乙個極大無關組.
於是便可由
線性表示，從而二者等價.
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