三四章之間的聯絡緊密,多看多做題,才能融會貫通
n維向量——n個有次序的蘇a1，a2，a3，am所組成的陣列成為n維向量，
n維向量寫出一行成為行向量，組成一列成為列向量
a =(
a1a2
⋮an)
a= \left( \begin a1\\ a2\\ \vdots\\ a_n \end \right)
a=⎝⎜⎜⎜
⎛a1
a2⋮a
n⎠
⎟⎟⎟⎞
向量組：諾幹個同維數的列向量（行向量）做組成的集合
定理1：向量b能有向量組a:a1,a2,am線性表示的充分必要條件是矩陣a=(a1,a2,$⋯
\cdots
⋯an)的秩等於矩陣b=(a:a1,a2,am,b)的秩
定理2:向量組b:b1,b2,bj能有向量組a:a1,a2,am線性表示的充分必要條件是r(a)=r(a,b)即a=(a1,a2,am)的秩等於(a,b)=(a1,a2,am,b1,b2,bj)的秩
推論向量組a,b等價的充分必要條件是r(a)=r(b)=r(a,b)
定理3:向量組b能有a線性表示的充分必要條件是r(b) ⩽
\leqslant
⩽r(a)
給定向量組a:a1,a2,⋯
\cdots
⋯an,如果存在不為零的數,k1,k2,⋯
\cdots
⋯,km,使:
稱向量組a是線性相關的,否則就是線性無關
定理4:向量組a:a
1a2⋮
am
a:a_1 a_2 \vdots a_m
a:a1a
2⋮a
m線性相關的充分必要條件是r(a)r(a
)=
mr(a)=m
r(a)=m
定理5: (1)諾向量a:a
1,⋯.
am
a:a_1,\cdots .a_m
a:a1,
⋯.am
線性有關,則向量組b:a
1,⋯,
am,a
m+
1b: a_1, \cdots ,a_m,a_m+1
b:a1,
⋯,am
,am
+1也線性相關,反之亦然
(2)m個n維向量組成的向量組,當維數n小於等於向量的個數m是,一定線性相關,特別的n+1個線性n維向量一定線性相關.
(3)設向量組a:a
1,⋯a
ma:a_1,\cdots a_m
a:a1,
⋯am
線性無關,向量組b:a
1,⋯a
m,
bb: a_1,\cdots a_m,b
b:a1,
⋯am
,b線性相關,則向量b必能有向量組a線性表示,且表示式是唯一的
定義5: 在向量組a中,如果在a中能選出r個向量的話a1,
a2,⋯
ar
a_1,a_2,\cdots a_r
a1,a2
,⋯a
r滿足向量組==a0:
a1,a
2,⋯,
ar
a_0:a_1,a_2,\cdots ,a_r
a0:a1
,a2
,⋯,
ar線性無關
向量組a中任意r+1個向量(如果存在r+1個向量)都線性相關那麼成向量組==a0==是乙個最大線性無關向量組(簡稱最大無關組),最大無關組所關於所含向量個數r稱之為向量組a的秩,記作ra
只含零向量的向量組沒有最大無關組,規定他的秩為0
定理6: 矩陣的秩等與他的列向量組的秩,也等於他的行向量組的秩
線性方程組ax=0
性質1：諾x=ζ1，x=ζ2為向量方程組的解，則x=ζ1+ζ2也是向量方程組的解 （aζ1=0，aζ2=0，a（ζ1+ζ2）=aζ1+aζ2=0+0=0）
性質2，諾x=ζ1為線性方程組的解則kζ1也是向量方程組的解 （同理：k0=0）
基礎解系：齊次線性方程組的解集的最大無關組
定理7：m×n的矩陣a的秩r(a)=r,則n元齊次線性方程組ax=0的解集s的秩r(s)=n-r
性質3:
諾x=ζ1以及ζ2是向量方程組ax=b的解則x=ζ1-ζ2對應的齊次的線性方程組ax=0(b-b=0)
性質4:設x=n是ax=b的解,x=m是ax=0的解,則x=m+n是ax=b的解
得到非齊次線組的通解等於對應的齊次方程組的通解+非齊次方程的特解
掌握例題24與例題26即可
R學習筆記（第四章 向量）
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