\(\dbinom=\dbinom+\dbinom\)
\(k\dbinom=n\dbinom\)
\(\dbinom+\dbinom+\dotsb+\dbinom=2^n (n\geq 0)\)
\(\dbinom+\dbinom+\dotsb=\dbinom+\dbinom+\dots=2^ (n\geq 1)\)
\(1\dbinom+2\dbinom+\dotsb+n\dbinom=n2^ (n\geq 1)\)
\(1\dbinom+4\dbinom+9\dbinom+\dotsb+n^2\dbinom=n(n+1)2^ (n\geq 1)\)
\((x+y)^n=\sum\limits_^\dbinomx^y^k=\sum\limits_^\dbinomx^k y^\)
\((1+x)^n=\sum\limits_^\dbinomx^k\)
\(((1+x)^n)^=\left(\sum\limits_^\dbinomx^k\right)^=\sum\limits_^k\dbinomx^\)
令 \(x=1\), 得 \(n2^=\sum\limits_^k\dbinom\)
如此求導操作，即可得到\(\sum\limits_^k^p\dbinom\)相對於任何正整數\(p\)的恒等式。
\(\sum\limits_^\dbinom^2=\dbinom (n\geq 0)\) 由vandermonde卷積即可證明。
\(\dbinom+\dbinom+\dotsb+\dbinom=\dbinom (r\in r , k\in z)\)
對於所有的正整數 \(m_1,m_2\) 和 \(n\)，有\(\sum\limits_^\dbinom\dbinom=\dbinom\)
證明 vandermonde 卷積:
設大小為\(m_1+m_2\)的集合\(s\)，把\(s\)任意劃分為\(a,b\)兩集合，且\(|a|=m_1,|b|=m_2\)，則對\(s\)劃分\(n\)子集等價於對 \(a\) 劃分 \(k\) 子集和對 \(b\) 劃分 \(n-k\) 子集，由加法原理可知， vandermonde 卷積公式成立。
應用1: \(\sum\limits_^k\dbinom^2=n\dbinom\)
證明:\(\sum\limits_^k\dbinom^2=\sum\limits_^k\dbinom\dbinom=n\sum\limits_^\dbinom\dbinom=n\sum\limits_^\dbinom\dbinom=n\dbinom=n\dbinom\)
應用2: \(\sum\limits_^\dbinom\dbinom=\dbinom\)
證明:\(\sum\limits_^\dbinom\dbinom=\sum\limits_^\dbinom\dbinom\)
令 \(r=k-1\)，得 \(\sum\limits_^\dbinom\dbinom=\sum\limits_^\dbinom\dbinom=\dbinom\)
對於正整數\(n\)，二項式係數\(\dbinom,\dbinom,\dbinom,\dotsb,\dbinom\)中的最大者為\(\dbinom\right\rfloor}=\dbinom\right\rceil}\)。
設 \(s\) 是 \(n\) 元素集合。\(s\)的反鏈是集合 \(s\) 的子集的乙個集合 \(\mathcal\)，其中 \(\mathcal\) 中的子集不互相包含。則 \(s\) 上的乙個反鏈最多包含\(\dbinom\right\rfloor}=\dbinom\right\rceil}\)個集合。
構造這樣乙個\(s\)上最大的反鏈的方法是取\(k=\left\lfloor\frac\right\rfloor=\left\lceil\frac\right\rceil\)，然後取 \(\mathcal\) 為 \(s\) 所有的 \(k\) 子集。
\(s\) 的最大鏈的數目等於\(n!\)。
\((x_1+x_2+\dots+x_t)^n\)，多項式係數為\(\dbinom=\frac\)，其中\(n_1,n_2,\dots,n_t\)是非負整數且\(n_1+n_2+\dots+n_t=n\)
多項式係數的帕斯卡公式是\(\dbinom=\dbinom+\dbinom+\dotsb+\dbinom\)
\((x_1+x_2+\dots+x_t)^n=\sum\dbinomx_1^x_2^\dotsb x_t^\)
其中\(\dbinom=\dbinom\dbinom\dotsb\dbinom}=\frac\)
二項式係數
任務描述 根據二項式定理，對於給定的二項式 a b 的n次方可以展開為c a的k次方 b的 n k 次方，k 0,1,2,n。現在要求出二項式的各個項的係數c。輸入 第一行包含乙個整數k 1 k 33 表示測試用例的個數。每個測試用例包含乙個整數n 1 n 33 輸出 按公式中的順序輸出各個二項式係...
《組合數學》學習筆記 之 二項式係數
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二項式的係數規律
二項式的係數規律，我國數學家很早就發現了。如 圖1.png 我國南宋數學家楊輝1261年所著的 詳解九章演算法 一書裡就出現了。其排列規律 11 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 ...