形式與多步容斥相似,公式與多步容斥類似，多步容斥公式為：
\[|a_1\cup a_2\cup...\cup a_n|=\sum\limits_|a_i|-\sum\limits_^n(-1)^ig(i)\\
g(n)=\sum\limits_^n(-1)^if(i)\]
顯然這兩個公式是等價，也是相互推導的關係，因此我們得到了二項式反演的形式1：
形式 1：
\[f(n)=\sum\limits_^ng(i)\leftrightarrow g(n)=\sum\limits_^n(-1)^f(i)
\]形式 2：
\[f(n)=\sum\limits_^ng(i)\leftrightarrow g(n)=\sum\limits_^n(-1)^f(i)
\]證明：
我們把右邊帶入到左邊，調換兩個求和符號的順序，然後再考慮 \(\) 的組合意義，稍微轉換一下可得到：
\[f(n)=\sum\limits_^nf(j)(1-1)^
\]可以得出左右兩邊相等。
更加通用的證明公式為：
\[f(n)=\sum\limits_^ng(i)\leftrightarrow g(n)=\sum\limits_^n(-1)^f(i)
\]形式 3：
這個公式和形式2類似，是最常用的公式，為：
\[f(n)=\sum\limits_^mg(i)\leftrightarrow g(n)=\sum\limits_^m(-1)^f(i)
\]證明：
同上，把右邊帶入左側即可。
組合意義：
我們記 \(f(n)\) 表示欽定選 \(n\) 個，\(g(n)\) 表示恰好選 \(n\) 個，則對於任意的 \(i\geq n\) ，\(g(i)\) 在 \(f(n)\) 中被計算了 \(\) 次，因此 \(f(n)=\sum\limits_^mg(i)\)，其中 \(m\) 是數目上界。
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