在數論中，\(lucas\)定理用於快速計算\(c^m_n ~ \% ~p\)，即證明\(c^m_n = \prod_ ^kc^_\)其中\(m_i\)為\(m\)的因式分解，\(n_i\)為\(n\)的因式分解，\(p\)為質數。
由\(edward~lucas\)在2023年提出。
證明：首先我們將\(c^i_p\)進行一下變式即\(c^i_j = \frac\)，提出來乙個\(\frac\)也就等於\(\frac \times \frac\)。因此我們推出：
\(c^i_p \equiv \fracc^_ \equiv 0 ~(mod~p)\)。其中\(1 \leq i \leq p - 1\)然後我們得到：
\((x +１)^p \equiv c_p^01^p + c_p^1x^2 + ... + c_p^px^p\)（實際上就是個多項式展開...）
同時又同餘\(c_p^01^px^0 + c_p^p1^0x^p \equiv 1 + x^p (mod ~p)\)
因此我們又推出：
\((1 + x)^p \equiv 1 + x^p (mod ~ p)\)接著我們可以利用數學歸納法求出\((1 +ｘ)^ \equiv 1 + x^ (mod～ p)\)。接下來將\(m\)用\(p\)進製數表示就是\(\sum_ ^km_ip^i\)。
並且我們還可以看出\(\sum_^ c_n^mx^n = (1 +x)^m = \prod _^k((1 + x)^)^ = \prod _^k(1 + x^)^ = \prod _^k(\sum_^ c_^x^)\)
也就等於\(\prod _^k(\sum_^ c_^x^) = \sum_^ (\prod_^kc_^)x^n ~ (mod ~ p)\)
因為\(n_i\)為\(n\)的\(p\)進製表示，因此得證。
模板：（link）
#include #include #include #include #include using namespace std ;
typedef long long ll ;
const int maxn = 100010 ;
ll n, m, p, x[maxn] ;
inline ll read()
inline ll quickpow(ll a, ll b) return ans ;
}inline ll c(ll a, ll b)
inline ll lucas(ll a, ll b)
int main() return 0 ;
}
盧卡斯 Lucas 定理
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