RMQ問題之ST演算法

rmq問題：求長度為n的數列中，求[i,j]直接的最值。

st演算法：一種動態規劃的方法。

一、預處理dp陣列

對於區間[i,i+2^j-1]的最值，只需要知道區間[i,i+2^(j-1)-1]和區間[i+2^(j-1),i+2^j-1]的最值即可。

由此可的遞推方程：dp[i,i+2^j-1] = max(dp[i,i+2^(j-1)-1],dp[i+2^(j-1),i+2^j-1])

但是對於乙個比較長的數列,2^j是乙個非常大的數，我們也可發現，沒什麼必要直接記錄左右端點。

優化為i記錄乙個起點，j記錄類似距離的東西，dp[i,j]表示區間[i,i+2^j-1]。

優化後遞推方程：dp[i,j] = max(dp[i,j-1],dp[i+2^(j-1),j-1])

預處理dp陣列時間複雜度為o(nlogn)。

二、查詢最值

所以開始把乙個區間當dp陣列求出來，再進行查詢即可。

但是查詢時候，知道的是兩個端點l,r。

對於區間[l,r]，如何再dp陣列中查詢呢？

前面講了i表示起點，j代表類似距離的東西。

很明顯l就是i了。可是2^j-1不可能是r，這時候就要找個中間的"j"了。

令len = r-l+1, 則2^k <= len(此處注意不是2^k-1,反證：當2^k-1 == len時，l + 2^k-1 = l + len = r + 1 > r)

即[l,r] = max(dp[l,k],dp[r-(2^k)+1,k])

查詢時間複雜度為o(1)。

儘管**比較簡潔並且功能比較強大，速度也比較快，可是並沒有線段樹那麼功能多。

1 #include 2 #include 3 #include 4

using
namespace
std;
5const
int maxn = 100005;6
int ma[maxn][20];7
int mi[maxn][20];8
inta[maxn];
9void init(int
n)17}18
int rmq_max(int l, int r, int
k)21
int rmq_min(int l, int r, int
k)24
int rmq(int l, int
r)32
intmain()
42return0;
43 }

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