狄利克雷生成函式

本篇討論的所有函式都是積性函式。若 \(f\) 為 dgf，則 \(f\left(s\right)\) 簡寫作 \(f\)。

定義對於乙個數論函式，設在 \(i\) 處的點值為 \(f_i\)，則定義它的狄利克雷生成函式 dgf（dirichlet generating function）為 \(f\left(s\right)=\sum\limits_^\frac\)。

若存在兩個狄利克雷生成函式 \(f,g\)，其乘積為

\(fg=\sum\limits_^\sum\limits_f_dg_\times n^\)。

可以發現兩個 dgf 的乘積恰好為它們的狄利克雷卷積的 dgf。

黎曼 zeta 函式定義為 \(\zeta\left(s\right)=\sum\limits_^\frac\)

一些常見數論函式的 dgf

前置知識：

單位元函式 \(e\) 的 dgf 顯然為 \(e=1\)。

恒等函式 \(i\) 的 dgf 為 \(i=\sum\limits_^\frac=\zeta\left(s\right)\to \prod\limits_\sum\limits_^\frac}=\prod\limits_\frac}=\zeta\left(s\right)\)

莫比烏斯函式 \(\mu\) 的 dgf 為 \(\mu=\prod\limits_\left(1-\frac\right)=\frac\frac}}=\frac\)

尤拉函式 \(\varphi\) 的 dgf 為 \(\varphi=\prod\limits_\left(1+\sum\limits_^\frac}}\right)=\prod\limits_\frac}}=\frac\)

冪函式 \(id_k\) 的 dgf 為 \(id_k=\prod\limits_\sum\limits_^\frac}}=\prod\limits_\frac}=\zeta\left(s-k\right)\)

除數函式 \(\sigma\) 的 dgf 為 \(\sigma_k=id_k\times i=\zeta\left(s\right)\zeta\left(s-k\right)\)

一些不常見函式的 dgf

劉維爾函式 \(\lambda\) 的 dgf 為 \(\lambda=\prod\limits_\sum\limits_^\frac}=\prod\limits_\frac}=\frac\)

\(\mu^2\) 的 dgf 為劉維爾函式的逆，即 \(\mu^2=\frac\)

僅在 \(\texttt\) 處值為 \(1\) 的函式的 dgf 為 \(\frac = \frac\)

計算 dgf 的字首和

如果暴力計算在 \(p^k\) 處取值，其它數用 euler 篩計算，且 \(p^k\) 處相對易於計算，則複雜度為 \(o\left(n\right)\)，可計算出所有位置字首和。

對於某些特殊函式：

侷限性不是所有積性函式都有用 \(\zeta\) 表示的封閉形式，如 \(d\left(i^3\right)\)

可能就不行。

不能表示的時候還是乖乖洲閣篩或者搞奇技淫巧吧。

dgf 的乘法

\(f=gh\to f_n=\sum\limits_g_dh_\)

可以在 \(o\left(n\log n\right)\) 的時間內解決。

dgf 的除法

\(f=h/g\to \sum\limits_f_dg_}=h_n\to f_n=h_n-\sum\limits_f_}g_d\)

可以在 \(o\left(n\log n\right)\) 的時間內解決。

dgf 的對數

\(b=\ln a\to b'=\int \frac\)

所以只要求出導數和積分即可。

但因為整數的 \(\ln\) 在整數域下沒有定義，所以我們用質因子個數（相同的算多個）代替。（嚴謹證明可以參考這個）

可以在 \(o\left(n\log n\right)\) 時間內解決。

dgf 的指數

\(b=\exp a\to b'=a'b\)

類似於對數，也可以在 \(o\left(n\log n\right)\) 時間內解決。