前置知識
(1)常見的完全積性函式：
恒等函式：\(i\)。\(i(n)=1\)
單位函式：\(id\)。\(id(n)=n\)
元函式：\(\epsilon\)。\(\epsilon(n)=[n=1]\)，元函式卷積任何函式\(f\)都是\(f\)本身
(2)常見積性函式:：
尤拉函式：\(\varphi(n)\)是小於n和n互質的自然數個數
莫比烏斯函式：\(\mu(n)\)
\(\sigma\)：\(\sigma_k(n)\)表示n的所有因數的k次方之和
(3)【狄利克雷卷積定義】
兩個函式\((f，g)\)的狄利克雷卷積記為\(f*g\)
\[(f * g)(n)=\sum_ f(k) \times g\left(\frac\right)
(5)【基礎性質】
若\(f，g\)為積性函式，則\(f*g\)也是積性函式
卷積滿**換律，結合律，分配律
(6)【常用卷積等式】
\[\begin \mu*i&=\epsilon \\\mu * i d&=\varphi \\\varphi * i&=id \\\end
(7)用卷積的性質證明莫比烏斯反演
\[\beginf(n)&=\sum_ f(d) \\f&=f*i \\f*\mu&=f*i*\mu \\f*\mu&=f*\epsilon \qquad&(性質6) \\f*\mu&=f \qquad&(元函式性質)\\f(n)&=\sum_ \mu(d) f\left(\frac\right)\end
狄利克雷卷積
積性函式 f 和 g 狄利克雷卷積的形式 f ast g n sum limits f d g frac 或者 f ast g n sum limits f i g j 它滿足證明 f ast g ast h sum limits sum limits f d g frac h frac 等同於 f...
狄利克雷卷積
狄利克雷卷積 是定義在數論函式間的一種二元運算，可以定義為 f g n sum limits f x g y 或 f g n sum limits f d g frac 若 f,g 均為積性函式，則 f g 也是積性函式。顯然 f g 1 f 1 g 1 1 設 n perp m 則 begin f...
初學狄利克雷卷積
狄利克雷卷積可以算是數論中的乙個比較重點的內容吧。它有許多作用，例如證明莫比烏斯反演定理。同時，它也是杜教篩等玄學演算法的基礎。要學習狄利克雷卷積，就得先對積性函式有一定的了解。關於積性函式可以看一下這篇部落格 關於積性函式的一些知識。我們通常定義 f g sum f d g frac nd 與乘法...