在數論函式集上，狄利克雷卷積定義為如下的二元運算
(f*g)(n)=d|nσf(d)g(n/d)
狄利克雷卷積運算滿足交換律，結合律，分配律
在數論函式集上，存在單位元函式ε(n)滿足ε(1)=1 ε(n)=0(n>1)
使得(f*ε)=(ε*f)=f
而常值函式1(n)則定義為1(n)=1
乙個數論函式f(n)與1(n)的狄利克雷卷積並不是f(n)自身，而是乙個常見的式子
(f*1)(n)=d|nσf(d)
那麼如果我們已知乙個函式g(n)=d|nσf(d)，該如何求得f(n)呢
通常，可以使用莫比烏斯反演定理：
f(n)=d|nσμ(d)g(n/d)
但是為什麼可以這樣呢?而且為什麼這個式子長得那麼像狄利克雷卷積呢
實際上,μ(n)有個重要的性質：
d|nσμ(d)=[n=1]
也就是說(μ*1)(n)=ε(n)
在數論函式集上，μ(n)是1(n)的狄利克雷逆函式
因此(μ*g)(n)=(μ*f*1)(n)=f(n)
這就從另乙個角度驗證了莫比烏斯反演定理
本文最後再簡單介紹下狄利克雷卷積逆函式的求法：
為了簡單起見，這裡用f-1表示f的狄利克雷逆
n=1時：
(f*f-1)(1)=f(1)f-1(1)=ε(1)=1
因此 f-1(1)=1/f(1)
這說明了如果f(1)為0，則不存在狄利克雷逆
n=2時：
(f*f-1)(2)=f(1)f-1(2)+f(2)f-1(1)=ε(2)=0
因此 f-1(2)=-f(2)f-1(1)/f(1)
n=3時：
(f*f-1)(3)=f(1)f-1(3)+f(3)f-1(1)=ε(3)=0
因此 f-1(3)=-f(3)f-1(1)/f(1)
n=4時：
(f*f-1)(4)=f(1)f-1(4)+f(2)f-1(2)+f(4)f-1(1)=ε(4)=0
因此 f-1(4)=-(f(2)f-1(2)+f(4)f-1(1))/f(1)
對於所有n>1，有：
f-1(n)=-(d|n且d>1σf(d)f-1(n/d))/f(1)
狄利克雷卷積 莫比烏斯反演
數論函式及其運算 數論函式是指定義域是正整數，值域是乙個數集的函式。加法，逐項相加，即 f h n f n h n 數乘，這個數和每一項都相乘，即 xf n x f n 狄利克雷卷積 定義兩個數論函式的狄利克雷卷積 若 t f g 則 t n sum f d g frac 又或者寫成 t n sum...
莫比烏斯反演 二 莫比烏斯反演定理
首先設兩個任意函式f x 和f x 定義運算 f x sum f d 這時就可以用f x 表示f x f 1 f 1 f 2 f 1 f 2 f 3 f 3 f 1 f 4 f 4 f 2 f 1 f 5 f 5 f 1 f 6 f 6 f 3 f 2 f 1 這時可以試著用f x 表示f x f ...
莫比烏斯反演定理推導
已知 f n d nf d 求證 f n d n d f nd d n代表d是n的因數 其中 d 為莫比烏斯函式，定義如下 1 若d 1 則 d 1 2 若d p1p2 p k,pi 為互異素數，那麼 d 1 k 3 其它情況下 d 0 求證之前先證明 d 的乙個性質 對於任意正整數n有 d n d...