數論函式及其運算
數論函式是指定義域是正整數，值域是乙個數集的函式。
加法，逐項相加，即\((f+h)(n)=f(n)+h(n)\)；
數乘，這個數和每一項都相乘，即 \((xf)(n)=x·f(n)\)
狄利克雷卷積
定義兩個數論函式的狄利克雷卷積 \(*:\)
若\(t=f*g\)，則\(t(n)=\sum_^{}f(d)·g(\frac)\)，又或者寫成\(t(n)=\sum_f(i)\cdot g(j)\)。
卷積性質
交換律：\(f*g=g*f\)
結合律： \((f*g)*h=f*(g*h)\)
分配律：\((f+g)*h=f*h+g*h\)
單位元：\(\epsilon*f=f\),其中\(\epsilon=[n=1]\)
逆 元： 對於每個\(f(1)\not=0\)的\(f\)，都存在乙個\(g\)，使得\(f*g=\epsilon\)，\(g\)為\(f\)的逆。
定義不再重複。
常見的積性函式：
1.\(\phi(n)=n\prod_^}\)
2.\(id^k(n)=n^k\),特別的記\(i(n)=id^0(n)=1,\ \ id(n)=id^1(n)=n\)
3.\(\epsilon(n)=[n=1]\)
4.\(\mu(n)=\cases，k為質因子個數\)
積性函式性質
1.積性函式的狄利克雷卷積還是積性函式。
2.積性函式的逆還是積性函式。
由積性函式的性質可知，通過計算出它在質因子冪處的取值，就可以得到它本身的值。
例如：\(\phi(n)=\prod_^\phi(p_i^)\)
另外，容易發現\((\phi\ *\ i)(p^k)=p^k\)，由性質1可得\(\phi*i=id\)。
運用上述知識，從卷積的角度來認識莫比烏斯反演。
首先重新認識一下\(\mu\)，定義\(\mu\)為\(i\)的逆。
由於\(i\)是積性的，而\(\mu\)是\(i\)的逆，所以\(\mu\)也是積性的。
利用\(i*\mu=\epsilon\)，可以得出：
\[\mu(p^k)=\cases
\]再利用積性函式的性質1，可以得到上面寫到的\(\mu\)函式。
這個時候，我們順便發現了乙個\(\phi\)與\(\mu\)的關係：
\[\phi=id*i^=id*\mu\\
\phi(n)=\sum_d\cdot\mu(\frac)
\]進入正題。
如果數論函式\(f,g\)滿足:
\[f(n)=\sum_g(n)\\
\]那麼，
\[g(n)=\sum_\mu(d)\cdot f(\frac)
\]
證明：直接寫成卷積形式即可。同時存在另外一種形式的莫比烏斯反演：
\[f(n)=\sum_g(x)\\
g(n)=\sum_\mu(\frac)\cdot f(x)
\]
證明：應當注意的是：定義新運算\((f\odot g)(n)=\sum_f(\frac)\cdot g(x)\)
下面先證明：\((f*g)\odot h=f\odot (g\odot h)\)
\[(f\odot (g\odot h))(n)=\sum_f(\frac)\sum_g(\frac)h(p)\\
=\sum_\sum_f(\frac)g(\frac)h(p)\\
=\sum_(f*g)(\frac)h(p)\\
=((f*g)\odot h)(n)
\]所以就有
\[g=(\mu*i)\odot g=\mu\odot(i\odot g)=\mu\odot f
\]
\[\sum_\mu(\frac)\cdot f(x)\not=\sum_\mu(x)\cdot f(\frac)
\]
狄利克雷卷積及莫比烏斯反演定理
在數論函式集上，狄利克雷卷積定義為如下的二元運算 f g n d n f d g n d 狄利克雷卷積運算滿足交換律，結合律，分配律 在數論函式集上，存在單位元函式 n 滿足 1 1 n 0 n 1 使得 f f f 而常值函式1 n 則定義為1 n 1 乙個數論函式f n 與1 n 的狄利克雷卷積...
狄利克雷卷積 狄利克雷卷積學習筆記
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積性函式 f 和 g 狄利克雷卷積的形式 f ast g n sum limits f d g frac 或者 f ast g n sum limits f i g j 它滿足證明 f ast g ast h sum limits sum limits f d g frac h frac 等同於 f...