積性函式\(f\)和\(g\)，
狄利克雷卷積的形式:
\[(f\ast g)(n) = \sum\limits_f(d)g(\frac)
\]或者
\[(f\ast g)(n) = \sum\limits_f(i)g(j)
\]\(\\\)
\(\\\)
它滿足證明
\[(f\ast g) \ast h = \sum\limits_\sum\limits_f(d)g(\frac)h(\frac)
\]等同於
\[(f\ast g) \ast h = \sum\limits_f(i)g(j)h(k)
\]這個式子滿足輪換對稱，\(i,j,k\)怎麼換都一樣
\(\\\)
\(\\\)
\([a]\)表示 \(a\) 成立為 \(1\) ,否則為 \(0\)
有一些基本的積性函式:
常用的卷積:
證明:\[\sum\limits_f(d)\epsilon(\frac)
\]當且僅當\(d=n\)時，\(\epsilon(1) = 1\)
\[=f(n)
\]\(\\\)
\(\\\)
證明:\[=\sum\limits_\mu(d)1(\frac)
\]\[=\sum\limits_\mu(d)
\]\[=[n=1]
\]特別的，\(n=1\)時,\(\mu(1)=1\),任意積性函式的\(1\)都是\(1\)
當\(n \ne 1\)時，
令\(d = p_^p_2^...p_k^\)
根據\(\mu\)的定義，
\(\mu(i) = \left\
1\quad \quad \quad ,n=1 \\
(-1)^k \quad ,\prod_^x_i=1 \\
0 \quad,\prod_^x_i\ne1\\
\end
\right.
\)當\(i > 1\)時，只有中間的一項有貢獻
\[\sum\limits_^(_ ^)(-1)^i
\]意義是從\(k\)個中選有\(i\)個質因子的數的個數,\(\mu\)如果有奇數個質因子，則為\(-1\)，\(i = 0\)意味著不選，也就是\(\mu(1)\)的貢獻。
\[=\sum\limits_^(_ ^)(-1)^i1^
\]\[=(1-1)^k
\]\[=0
\]\(\\\)
\(\\\)
證明:\[\sum\limits_\varphi(d)1(\frac)
\]\[=\sum\limits_\varphi(d)
\]根據\(\varphi(i)\)的定義，
\(\varphi(i)=\)
\(1\)~\(i\) 與 \(i\) 互質的個數
考慮構造有\(n\)個元素的集合\(a=\left\|i\in z,i\in [1,n] \right\}\)
有\(\frac\in a\),把它化解到最簡\(\frac\),顯然每個 \(\frac\) 僅會對應乙個\(\frac\)
顯然\(b|n\),因為同時除以了公因數。
由於是最簡形式，對於每個分母是\(b\)的分數, 顯然\(a\)都與\(b\)互質，
所以\(a\)的個數為\(\varphi(b)\)
所以\[\sum\limits_\varphi(d) = |a| = n
\]\(\\\)
\(\\\)
證明:同乘\(1\)
\[\varphi \ast 1= id \ast \mu \ast 1
\]化簡得
\[id = id \ast \epsilon\]得
\[id = id
\]\(\\\)
\(\\\)
證明:\[=\sum\limits_1(d)1(\frac)
\]\[=\sum\limits_1
\]\(\\\)
\(\\\)
證明:\[1 = 1 \ast 1 \ast \mu
\]\[1 = 1 \ast \epsilon
\]\[1 = 1
\]\(\\\)
\(\\\)
證明:\[= \sum\limits_id(d)1(\frac)
\]\[= \sum\limits_d
\]\(\\\)
\(\\\)
證明:\[id = id \ast 1 \ast \mu
\]\[id = id \ast \epsilon
\]\[id = id
\]\(\\\)
\(\\\)
證明:\[= \sum\limits_id_w(d)1(\frac)
\]\[= \sum\limits_d^w
\]\(\\\)
\(\\\)
證明:\[id_w = id_w \ast 1 \ast \mu
\]\[id_w = id_w \ast \epsilon
\]\[id_w = id_w
\]\(\\\)
\(\\\)
證明:\[1\ast id =id \ast \mu \ast d
\]\[1\ast 1 \ast id = id \ast \mu \ast 1 \ast d
\]\[d \ast id = id \ast \epsilon \ast d
\]\[d \ast id = id \ast d
\]\(\\\)
\(\\\)
狄利克雷卷積 狄利克雷卷積學習筆記
前置知識 1 常見的完全積性函式 恒等函式 i i n 1 單位函式 id id n n 元函式 epsilon epsilon n n 1 元函式卷積任何函式 f 都是 f 本身 2 常見積性函式 尤拉函式 varphi n 是小於n和n互質的自然數個數 莫比烏斯函式 mu n sigma sig...
狄利克雷卷積
狄利克雷卷積 是定義在數論函式間的一種二元運算，可以定義為 f g n sum limits f x g y 或 f g n sum limits f d g frac 若 f,g 均為積性函式，則 f g 也是積性函式。顯然 f g 1 f 1 g 1 1 設 n perp m 則 begin f...
初學狄利克雷卷積
狄利克雷卷積可以算是數論中的乙個比較重點的內容吧。它有許多作用，例如證明莫比烏斯反演定理。同時，它也是杜教篩等玄學演算法的基礎。要學習狄利克雷卷積，就得先對積性函式有一定的了解。關於積性函式可以看一下這篇部落格 關於積性函式的一些知識。我們通常定義 f g sum f d g frac nd 與乘法...