NOI2007 貨幣兌換

目錄好像是二刷了吧，但是肯定不止見過兩次了。

傳送門 to luogu

不難發現題目提示也給了必定存在一種最優方案滿足**時用完所有錢，賣出時賣完所有**。

先分析清楚題，假如說在第 \(i\) 天用 \(s\) 元買**，那麼最後

\[\text_b=_i+b_i} \\

\text_a=\text_b\text_i=_i\over a_i\text_i+b_i}

\]那麼我們定義 \(f_i\) 表示第 \(i\) 天能夠得到的最多的錢，那麼就有乙個 \(\mathcal o(n^2)\) 的轉移：

\[f_i=\max_^\_j\over a_j\text_j+b_j}+b_i\times _j+b_j}\}

\]最後還要 \(f_i=\max\\}\) 表示今天什麼都沒乾，初始狀態 \(f_0=s\).

十分容易地拿下 \(60pts\)，考慮優化這個 \(\mathcal o(n^2)\) 的 \(\tt dp\).

定義 \(t_i=a_i\text_i+b_i\)，那麼轉移寫作

\[f_i=\max_^\_j\over t_j}+b_i\times \}

\]發現這兩個分數都只和 \(j\) 有關，那麼這個式子就是可以斜率優化的。

記 \(x_j=_j\over t_j},y_j=\)，我們將這個方程改寫一下：

\[f_i=a_ix_j+b_iy_j \\

\rightarrow y_j=-x_j+

\]從含義上講，即對於之前的所有決策點，在平面上記其為 \(\lang x_j,y_j\rang\)，然後用 \(-\) 的直線去任意切乙個，得到的最大截距就是 \(f_i\over b_i\)，然後就可以算出最大 \(f_i\) 了。

但是有乙個問題，那就是這個 \(x_j\) 並不是單調的，所以我們還不能使用單調佇列對其進行維護，但是我們可以使用 \(\tt cdq\) 分治，每次把左邊的 \(x_i\) 進行排序，考慮左邊對右邊的貢獻，維護乙個不動凸包，然後在凸包上面二分即可，這樣做複雜度 \(\mathcal o(n\log^2 n)\). 其實也不需要再凸包上進行二分，只需要將右邊按照斜率 \(k=-\) 排序，每次在凸包前面檢視是否有更優解，有就將隊頭彈出，直到找到最優解更新答案即可。

#include#includeusing namespace std;
typedef long long ll;
templateinline t fab(const t x)
templateinline t readin(t x)
inline int operator ==(const double rhs) const
inline double operator -(const double rhs) const
inline double operator +(const double rhs) const
inline double operator *(const double rhs) const
inline double operator /(const double rhs) const
inline double operator -() const
} doub;
int n;
doub a[maxn+5], b[maxn+5], rate[maxn+5];
doub x[maxn+5], y[maxn+5], f[maxn+5];
inline void input()
}inline int comp(const doub a,const doub b)
inline int cmpx(const int i, const int j)
inline doub slope(const int i, const int j)
inline doub slope(const int i)
int q[maxn+5], op, ed;
int id[maxn+5];
void solve(const int l, const int r)
int mid=(l+r)>>1;
solve(l, mid);
for(int i=l; i<=r; ++i) id[i]=i;
sort(id+l, id+mid+1, cmpx);
sort(id+mid+1, id+r+1, cmpslope);
op=1, ed=0;
for(int i=l; i<=mid; ++i)
for(int i=mid+1; i<=r; ++i)
solve(mid+1, r);
}signed main()

有些地方精度太高了，調了好久......卡進度真的沒意思。

有時候斜率並不能保證一些東西是單調的，這個時候你就需要使用動態凸包或者用 \(\tt cdq\) 處理這種座標不保證單調的情況。

另外，對於 \(\tt dp\) 方程的變形，要將和 \(i\) 有關的，和 \(j\) 有關的變數進行剝離，這樣才能更好地處理。

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