乙個遊戲滿足以下條件時被叫做公平組合igc遊戲
本蒟蒻的理解：公平組合遊戲都可以轉化為博弈論問題來解決。例如經典的「nim遊戲」，「有向圖遊戲」都是公平組合遊戲。型別的問題也可以轉化成前兩種模型解決。
洛谷 題目位址
證明：給定一張有向無環圖，初始在起點 \(s\) 處放一枚棋子。每一回合玩家可以向出邊移動一步，不能移動者失敗。問是否有先手必贏策略？最後所有石子都取完是必敗態，此時 \(\mathrm\) 和為 \(0\)。
由此可以推得必敗態的上乙個狀態 \(\mathrm\) 和不為 \(0\)。
對於乙個任意 \(\mathrm\) 不為 \(0\) 的狀態，令 \(x=\sum} a_i\)，假設 \(x\) 的最高位為 \(k\)，那麼一定存在 \(a_j\) 的第 \(k\) 也為 \(1\)，在 \(a_i\) 中取走 \(a_i-a_i \mathrm\ x\) 顆石子（即剩下 \(a_i \mathrm\ x\) 顆石子），則操作後的狀態異或和為 \(0\)。
對於任意乙個 \(\mathrm\) 和為 \(0\) 的狀態，無論怎麼選取，下乙個的狀態的異或和必定不為 \(0\)。
重複以上操作，根據數學歸納法，初始狀態 \(\mathrm\) 和不為 \(0\)，先手必勝。
證畢。
想要解決這個問題，我們首先要引入\(\mathrm\) 運算和\(sg\) 函式。
\(\mathrm\) 運算是求乙個集合裡面沒有的最小非負整數，用數學語言表達即（\(n\) 是自然數集）：
\[\mathrm(s) = \min\
\]（特指有向圖遊戲）在有向圖遊戲中，對於每個結點 \(x\)，其 \(sg\) 函式為：
\[sg(x) = \mathrm \
\]（\(y_i,1 \le i \le k\) 是 \(x\) 的 \(k\) 條出邊的第 \(i\) 條出邊所指向的點）
可以發現，\(sg\) 函式是遞迴定義的。\(sg\) 函式的終點即為不可移動的點，因為沒有出邊，所以不可移動的點的 \(sg\) 函式等於 \(0\)。
特別的，乙個有向圖遊戲 \(g\) 的 \(sg\) 函式是該有向圖的起點 \(s\) 的 \(sg\) 函式，即 \(sg(g) = sg(s)\)。
回到有向圖遊戲，對於這個遊戲，有乙個定理。
對於該定理的證明，可以結合\(sg\) 函式意義和數學歸納法進行證明。過程比較簡單，留給讀者自行證明。
（並不知道有什麼專業名稱） 類似於nim遊戲與有向圖遊戲的相結合。
定義多個有向圖遊戲 \(g_1,g_2,...,g_n\)，每一回合玩家可以在任意乙個有向圖遊戲 \((g_i,1 \le i \le n)\) 上移動一步，不可移動者失敗。問先手是否有必贏策略？
關於該定理的證明，讀者可以在自主完成上一定理的證明後，結合nim遊戲定理的證明，感性理解一下。（因為我也不會呀qwq）
poj2311 剪紙遊戲
題目大意：\(n\) 堆石子，第 \(i\) 堆石子有 \(a_i\) 個，給定 \(x\)，每次可以取 \([1,x]\) 個石子，問先手是否必勝。
結論：若 \(\bigoplus\limits_^n (a_i \% (x+1)) \not = 0\) 則先手必勝，否則先手必敗。
感性理解一下：對於某一堆石子 \(a_i\)，當 \(a_i>(x+1)\)，後手取掉乙個數 \(y \in [1,x+1)\)，先手可以取乙個數 \(z\)，滿足 \(z=x+1-y\)，\(z\) 一定是可以取到的（也就是說\(z\in [1,x+1)\)），則 \(a_i\) 變為了 \(a_i - (x+1)\)，以此類推，該堆石子變為 \(a_i\%(x+1)\) 時，這堆石子就可以取任意數了。推廣到每一堆石子，就轉化成了 nim 遊戲。
博弈論入門
博弈論 是二人或多人在平等的對局中各自利用對方的策略變換自己的對抗策略，達到取勝目標的理論。博弈論是研究互動決策的理論。博弈可以分析自己與對手的利弊關係，從而確立自己在博弈中的優勢，因此有不少博弈理論，可以幫助對弈者分析局勢，從而採取相應策略，最終達到取勝的目的。一.bash博弈 問題 只有一堆n個...
博弈論入門
參考 三個簡單的博弈論問題 博弈 1066 bash遊戲 原題傳送 有一堆石子共有n個。a b兩個人輪流拿，a先拿。每次最少拿1顆，最多拿k顆，拿到最後1顆石子的人獲勝。假設a b都非常聰明，拿石子的過程中不會出現失誤。給出n和k，問最後誰能贏得比賽。例如n 3，k 2。無論a如何拿，b都可以拿到最...
博弈論入門
什麼是博弈 通俗地講，博弈就是指遊戲中的一種選擇策略的研究。博弈的英文為 game 我們一般將它翻譯成 遊戲 而在英語中，game 的意義不同於漢語中的遊戲，它是人們遵循一定規則的活動，進行活動的人的目的是讓自己 贏 我們在和對手競賽或遊戲的時候怎樣使自己贏呢？這不但要考慮自己的策略，還要考慮其他人...