具有勝敗遊戲的基礎
通過分析各個狀態的勝敗條件，判斷必勝態和必敗態，是具有勝敗遊戲的基礎。
首先判斷最終狀態的勝敗（比如兩人輪流取硬幣，沒有硬幣可取的一方失敗，則硬幣數\(x==0\)為必敗態）
如果某個狀態的後繼狀態中存在必敗態，則這個狀態為必勝態
如果某個狀態的後繼狀態全部為必勝態，則這個狀態為必敗態
通常使用搜尋或者動態規劃遍歷所有狀態，判斷每乙個狀態是必勝態還是必敗態
對稱策略
對稱策略是一種常見的博弈策略，是指在遊戲中做出對稱狀態後再完全模仿對手的策略
如果輪到自己時可以將狀態分成對稱的兩部分，那麼不管對手怎麼選取，自己只要採取同樣的方法在對稱的部分中選取，就可以重新回到兩個相同部分的狀態。這樣可以使得自己取走最後一件物品，對手在下一回合因為沒有物品可以選擇而失敗
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給出兩個自然數\(a,b\)，兩人輪流進行遊戲，每次將大的數減去小的數的倍數，不能減到小於零，首先得到0的人獲勝，判斷誰會贏得遊戲。
設\(b>a\)，如果\(a|b\)，則為必勝態，否則分成兩種情況：
\(b-a
\(b-a>a\)
對於第一種情況，由於此時進行遊戲的人只能選擇\(b-a\)的操作，也就是後繼狀態只有一種，所以如果\((b-a,a)\)是必敗態，則\((a,b)\)是必勝態，如果\((b-a,a)\)是必勝態，則\((a,b)\)是必敗態。
對於第二種情況，由於\(b-a>a\)，此時進行遊戲的人可以選擇的操作有\(b-a,b-2a,b-3a,\cdots,b-ka(k\leq b/a)\)。設\(b-xa，則如果\((b-xa,a)\)為必敗態，則\((a,b)\)為必勝態。但是如果\((b-xa,a)\)為必勝態，這時的最優策略是轉移到\((b-(x-1)a,a)\)的狀態，因為\((b-(x-1)a,a)\)的後繼狀態只有\((b-xa,a)\)，此時\((b-(x-1)a,a)\)為必敗態，所以\((a,b)\)為必勝態。
所以第二種情況一定是必勝態。
所以從初始狀態開始模擬，最先達到情況\(a|b\)或者情況\(b-a>a\)的一方贏得遊戲。
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\(n\)枚硬幣圍成乙個環，兩人輪流取硬幣，每一次可以取\([1,k]\)範圍內的連續的硬幣，沒有硬幣可取的一方失敗，兩人都採取最優策略，判斷誰會贏得遊戲。
先手第一次取過硬幣之後，如果沒有全部取完，則所有硬幣會變成一條鏈，後手可以在鏈的中間根據奇偶性的情況取1枚或者2枚硬幣，使得整條鏈分成完全相同的兩部分，然後後手可以採取對稱策略贏得比賽。
所以當\(n\leq k\)時，先手第一次可以取完所有硬幣，先手贏得遊戲，其他情況除了\(k==1\)之外，全部是後手採取對稱策略贏得比賽，\(k==1\)的情況直接根據\(n\)的奇偶性判斷。
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