如果對於數列\(a_0 , a_1 , a_2 , . . . ,\)存在某個離散隨機變數\(x\)滿足\(\mathrm(x = i) = a_i,\)那麼\(a_n (n \in
\mathbb n)\)的普通生成函式被稱為\(x\)的概率生成函式。
也就是說,如果\(x\)是非負整數集\(\mathbb n\)上的離散隨機變數,那麼x的概率生成函式為：
\[f(z) = \mathbb e(z^x) = \sum_^\infty \mathrm(x = i)z^i
\]因為是\(x\)是非負整數集\(\mathbb n\)上的離散隨機變數，所以必有
\[f(1) = \sum_^\infty \mathrm(x = i) = 1
\]對\(f(z)\)求導，得到
\[f'(z) = \sum_^\infty i\mathrm(x = i)z^
\]即\(x\)的期望
\[e(x) = f'(1) = \sum_^\infty i\mathrm(x = i)
\]進一步推導可得
\[e(x ^ \underline) = f^(1), (k \neq 0)
\]於是\(x\)的方差
\[\mathrm(x) = f''(1) + f'(1) - (f'(1)) ^ 2
\][ctsc2006]歌唱王國
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