\(t(x)=xe^\)
引自yyb的部落格egf本質上和ogf是類似的，區別在於除了乙個階乘。
分母多除了乙個階乘意味著分子也要多乘階乘，而你的值就是分子的值，所以多乘乙個階乘當然是排列了
階乘在計數中意為著什麼呢？順序。
那麼從中，我們明白了這樣一件事情：ogf考慮的是組合，意味著相同物品之間沒有區別，而egf考慮的是排列，相同之間也要考慮乙個順序關係。
\(x^}=\pi_^(x+i)=x(x+1)...(x+n-1)\)
\(x^}=\pi_^(x-i)=x(x-1)..(x-n+1)\)
函式\(f(x)\) 的\(x^n\) 項係數記作\([x^n]f(x)\)
係數\(=\frac\)
定理\((x+y)^\alpha=\sum_^x^y^k\)
常用展開
\(\frac=\sum_a^(x)\)
麥克勞林級數
\(\sum_^\frac(0)}x^n\)
常用展開
\(e^x=\sum_\fracx^n\)
\(xe^x=\sum_\fracx^n\)
\(e^=\sum_\fracx^n\)
\(\ln(1-x)=-\sum_\fracx^n\)
\(\frac=\sum_a^(x)\)
\(\ln(1-a(x))=-\sum_\fraca^i(x)\)
\(\exp(a(x))=\sum_\frac\)
第一類 stirling 數列的生成函式
推一下遞推式子
\[\begin f_(x)&=\sum_(ns(n,i)+ s(n,i-1))x^i\\&=n\sum_s(n,i)x^i+x\sum_s(n,i-1)x^\\&=(x+n)f_n(x) \end
\]然後數學歸納法可證\(f_n(x)=\pi_^(x+i)=x^}\)
城市規劃
設\(g(n)=2^}/n!=2^/n!\)表示n個點的有標號無向圖(不一定連通)的方案數/n!
\(f(n)\)表示n個點的有標號連通無向圖的方案數/n!
然後寫出這兩個的生成函式 $ g(x)$ , \(f(x)\)，發現是egf型的
還有如下關係
\[\beging(x)&=\sum_\frac(x)} \\ &=\exp(f(x))\end
\]故\(f(x)=\ln(g(x))\)
答案為\([f_n]g*n!\)
付公主的揹包
相乘轉換為對數相加
見題解 付公主的揹包
yyb的部落格
鏼爺15年集訓隊**
生成函式學習筆記
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如果對於數列 a 0 a 1 a 2 存在某個離散隨機變數 x 滿足 mathrm x i a i,那麼 a n n in mathbb n 的普通生成函式被稱為 x 的概率生成函式。也就是說,如果 x 是非負整數集 mathbb n 上的離散隨機變數,那麼x的概率生成函式為 f z mathbb ...
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